动态规划(1)——斐波那契数列
来源:互联网 发布:require.js 2.3.5 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 15:21
斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用
首先观察1、1、2、3、5、8、13、21、34可以写出求斐波那契数列非递归实现
int fib(int n) { int f = 1; int b = 0; while(--n) { f += b; b = f -b; } return f;}
而由F(n)=F(n-1)+F(n-2)公式很容易想到使用递归实现
int fib(int n) { if(n==0) return 0; if(n==1) return 1; return fib(n-1)+fib(n-2);}
计算可以得出这种递归的时间复杂度是O(2^n)水平,我们将递归树画出如下
可以看出进行了重复的计算,我们想提高效率也就是使得不重复计算,将子问题计算的结果记忆起来。
我们引入一个vector记录计算的结果
vector<int> mem(n+1,-1); int fib(int n) { if(n==0) return 0; if(n==1) return 1; if(mem[n]==-1) mem[n]=fib(n-1)+fib(n-2); return mem[n];}
使用记忆化搜索,记录斐波那契的值,此时时间复杂度已经是O(n)级别。
我们在使用递归的过程中实际是自上而下的解决问题,而如果我们自下而上的解决问题,即将原问题拆解成若干子问题,同时保存子问题的答案,使得每个子问题只求解一次,最终获得原问题的答案,这就是动态规划
dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions. 维基百科-动态规划
使用动态规划代码如下
int fib(int n) { vector<int> mem(n+1,-1); mem[0]=0; mem[1]=1; for(int i=2; i<=n; i++) mem[i]=mem[i-1]+mem[i-2]; return mem[n];}
可以知道自上向下的记忆化搜索和动态规划的方法都是O(n)级别的,但在记忆化搜索中fib函数调用了2n-1次而不是n次,而递归调用还花费时间和空间,动态规划的方法实际上每个mem只访问了一下,相比之下自下向上的动态规划是更优的选择。
类似的问题跳台阶(Climbing Stairs)可以转化为斐波那契数列问题,解法是一样的
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