10.19

最近在学数位dp
例1.求a~b中不包含49的数的个数. 0 < a、b < 2*10^9


注意到n的数据范围非常大，暴力求解是不可能的，考虑dp,如果直接记录下数字，数组会开不起，要用到数位dp.


     数位dp一般应用于：


  求出在给定区间[A,B]内，符合条件P(i)的数i的个数.


  条件P(i)一般与数的大小无关，而与 数的组成 有关.


这样，我们就要考虑一些特殊的记录方法来做这道题.一般来说，要保存给定数的每个位置的数.然后要记录的状态为当前操作数的位数，剩下的就是根据题目的需要来记录.可以发现，数位dp的题做法一般都差不多，只是定义状态的不同罢了.


下面开始针对例题进行分析:


   我们要求[a,b]不包含49的数的个数，可以想到利用前缀和来做，具体来说，就是[a,b] = [0,b] - [0,a)),我们先求出给定a,b的每个位置的数，保存在数组s中，例如a = 109,那么a[1] = 9,a[2] = 0,a[3] = 1.然后开始dp，我们可以选择记忆化搜索或者是递推，记忆化搜索相对于第二种而言简单和较为容易理解一些，所以我们选择记忆化搜索.那么需要记录些什么呢？首先长度是一定要记录的，然后记录当前的数位是否为4，这样就便于在记忆化搜索中得到答案.


   然后进行记忆化搜索，记录上一位是否为4和枚举这一位，如果没有限制的话很好办，直接枚举就可以了，但是这样可能会超空间，因此我们每次都必须要判断是否有最大的限制，代码：




#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>


using namespace std;


int a, b, shu[20], dp[20][2];


int dfs(int len, bool if4, bool shangxian)
{
    if (len == 0)
        return 1;
    if (!shangxian && dp[len][if4])   //为什么要返回呢？可以画图理解当我们搜到3XXX时，程序运行到1XXX时就已经把3XXX之后的搜索完了，记忆化也是这个用意.
        return dp[len][if4];
    int cnt = 0, maxx = (shangxian ? shu[len] : 9);
    for (int i = 0; i <= maxx; i++)
    {
        if (if4 && i == 9)
            continue;
        cnt += dfs(len - 1, i == 4, shangxian && i == maxx);  //只有之前有限制现在的达到了上限才能构成限制
    }
    return shangxian ? cnt : dp[len][if4] = cnt; //如果有限制，那么就不能记忆化，否则记忆的是个错误的数.
}


int solve(int x)
{
    memset(shu, 0, sizeof(shu));
    int k = 0;
    while (x)
    {
        shu[++k] = x % 10;  //保存a,b的数
        x /= 10;
    }
    return dfs(k, false, true);
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("%d\n", solve(b) - solve(a - 1));


    //while (1);
    return 0;
}
再来看一道题：例题2.求a~b中不包含62和4的数的个数. 0 < a、b < 2*10^9


分析：和上一题一样，只需要再判断一下4是否出现和上一位是否为6即可.




#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>


using namespace std;


int a, b,shu[20],dp[20][2];


int dfs(int len, bool if6, bool shangxian)
{
if (len == 0)
return 1;
if (!shangxian && dp[len][if6])
return dp[len][if6];
int cnt = 0, maxx = (shangxian ? shu[len] : 9);
for (int i = 0; i <= maxx; i++)
{
if (i == 4 || if6 && i == 2)
continue;
cnt += dfs(len - 1, i == 6, shangxian && i == maxx);
}
return shangxian ? cnt : dp[len][if6] = cnt;
}


int solve(int x)
{
memset(shu, 0, sizeof(shu));
int k = 0;
while (x)
{
shu[++k] = x % 10;
x /= 10;
}
return dfs(k, false, true);
}


int main()
{
scanf("%d%d", &a, &b);
printf("%d\n", solve(b) - solve(a - 1));




return 0;
}




数位dp刚刚入门。多看多练~