洛谷1633 二进制

题目描述

有三个整数A、B、C，以下用N（2）表示N的二进制（没有前导0）。

设A(2)、B(2)、C(2)的最大长度为L，你需要构造三个正整数X、Y、Z，满足以下条件：

（1） X(2)、Y(2)、Z(2)的长度都不超过L。

（2） A(2)与X(2)中1的个数相同。

（3） B(2)与Y(2)中1的个数相同。

（4） C(2)与Z(2)中1的个数相同。

（5） X+Y=Z。

传送门

算法

这是一道数位DP题。

自然想到用f[i][a][b][c][d][0/1]来作为状态。其中i代表前i位，a、b、c分别代表X、Y、Z中有a、b、c个1，0代表这一位不进位，1代表进位。那么f[i][a][b][c][0/1]就代表该状态下最小的Z。

首先考虑f[i][a][b][c][0]的转移。
首先，若这一位X、Y都选0，那么Z这一位也是0，且没有进位：

  0……+ 0……-------  0……得f[i+1][a][b][c][0]=min(f[i+1][a][b][c][0],f[i][a][b][c][0])

其次，若X和Y这一位都要选，那么Z这一位就是0，但是要进位：

  1……+ 1……------- 10……则f[i+1][a+1][b+1][c][1]=min(f[i+1][a+1][b+1][c][1],f[i][a][b][c][0]+(1<<i))

然后，若X选Y不选，那么Z这一位就是1，且不进位：

  1……+ 0……-------  1……则f[i+1][a+1][b][c+1][0]=min(f[i+1][a+1][b][c+1][0],f[i][a][b][c][0]+(1<<i-1))

最后，若X不选Y选，那么同上。

  0……+ 1……-------  1……则f[i+1][a][b+1][c+1][0]=min(f[i+1][a][b+1][c+1][0],f[i][a][b][c][0]+(1<<i-1))

然后考虑f[i][a][b][c][1]的转移。
首先，若这一位X、Y都选0，那么Z这一位是1（有进位），且没有进位：

  0……+ 0……-------  1……得f[i+1][a][b][c+1][0]=min(f[i+1][a][b][c+1][0],f[i][a][b][c][1])

其次，若X和Y这一位都要选，那么Z这一位还是1，而且要进位：

  1……+ 1……------- 11……则f[i+1][a+1][b+1][c+1][1]=min(f[i+1][a+1][b+1][c+1][1],f[i][a][b][c][1]+(1<<i))

然后，若X选Y不选，那么Z这一位就是0，且进位：

  1……+ 0……------- 10……则f[i+1][a+1][b][c][1]=min(f[i+1][a+1][b][c][1],f[i][a][b][c][1]+(1<<i-1))

最后，若X不选Y选，那么同上。

  0……+ 1……------- 10……则f[i+1][a][b+1][c][1]=min(f[i+1][a][b+1][c][1],f[i][a][b][c][1]+(1<<i-1)）

（如有手打错误还请指正）

注意判断无解，方法是把没有的状态置为INF。
边界为f[1][0][0][0][0]=0。

代码

#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cstdio>#define re registerusing namespace std;int l;inline int Bit(int k) //求二进制1的个数顺便更新长度{    int s=0,tl=0;    for (;k;k>>=1,++tl) s+=k&1;    if (tl>l) l=tl;    return s;}inline int read() //读优{    int X=0,w=1; char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9') { if (ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }    while (ch>='0'&&ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();    return X*w;}inline void GetMin(int& a,int b) { if (b<a) a=b; } //就是a=min(a,b)的功能int f[40][40][40][40][2]; //DP数组int main(){    int t; t=read();    while (t--) { //t组数据        l=0;        int A=read(),B=read(),C=read();        A=Bit(A),B=Bit(B),C=Bit(C); //数据+处理        memset(f,0x7f,sizeof(f)); //置INF        int INF=f[1][0][0][0][0]; //记录一下INF        f[1][0][0][0][0]=0; //边界        for (re int i=1;i<=l;i++) //DP            for (re int a=0;a<=A;a++)                for (re int b=0;b<=B;b++)                    for (re int c=0;c<=C;c++) {                        int t;                        t=f[i][a][b][c][0];                        if (t<INF) { //状态存在                            GetMin(f[i+1][a][b][c][0],t);                            GetMin(f[i+1][a+1][b+1][c][1],t+(1<<i));                            GetMin(f[i+1][a+1][b][c+1][0],t+(1<<(i-1)));                            GetMin(f[i+1][a][b+1][c+1][0],t+(1<<(i-1)));                        }                        t=f[i][a][b][c][1];                        if (t<INF) { //状态存在                            GetMin(f[i+1][a][b][c+1][0],t);                            GetMin(f[i+1][a+1][b+1][c+1][1],t+(1<<i));                            GetMin(f[i+1][a+1][b][c][1],t+(1<<(i-1)));                            GetMin(f[i+1][a][b+1][c][1],t+(1<<(i-1)));                        }                    }        if (f[l+1][A][B][C][0]!=INF) printf("%d\n",f[l+1][A][B][C][0]); //有解就输出        else printf("-1\n"); //无解    }    return 0;}