Master定理

什么是Master定理

简介

Master定理也叫主定理。它提供了一种通过渐近符号表示递推关系式的方法。应用Master定理可以很简便的求解递归方程。然而，Master定理也有其不适用的地方，下面会讲到。

定义

假设有如下递归方程:

T(n)=aT(nb)+f(n)

其中n为问题规模，a为递推的子问题数量且a≥1，nb为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）且b>1，f(n)为递推以外进行的计算工作。

设

g(n)=nlogba

则

T(n)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪Θ(g(n)),Θ(f(n)),Θ(g(n)lgn),g(n)f(n)>lgnf(n)g(n)>lgnf(n)=g(n)

一句话概括就是谁大取谁，相等就乘lgn。

不适用范围

如上定义所述，当g(n)f(n)<=lgn或f(n)g(n)<=lgn时，Master定理是无能为力的。因此，当遇到上面的情况时是不能使用Master定理的。

怎么使用

在应用Master定理时只需自己在心中默默的问上自己几个问题，就可以计算出递归方程的渐进复杂度。下面咱们走上一遍：

1. a是谁，b是谁，g(n)是多少，f(n)又是多少？
2. g(n)大还是f(n)大还是一样大？
3. 如果g(n)大，那么g(n)f(n)>lgn？
4. 如果f(n)大，那么f(n)g(n)>lgn ?

既然知道了怎么用，那下面就来几个例题再近距离感受下Master定理的强大。

举几个栗子

二分搜索

二分搜索的递归方程如下：

T(n)=T(n2)+Θ(1)

按照上面的步骤，走上一遍试一下：

在这里， 
1. a=1,b=2,f(n)=1,那么g(n)=nlogba=nlog21=1 
2. f(n)=g(n) 
3. 因此T(n)=Θ(g(n)lgn)=Θ(lgn)

怎么样，是不是很简单。再举几个不同的栗子接着感受下

二叉树遍历

二叉树遍历的递归方程如下：

T(n)=2T(n2)+Θ(1)

继续按照上面的步骤走：

1. a=2,b=2,f(n)=1,因此,g(n)=n
2. g(n)大
3. g(n)f(n)=n>lgn
4. 因此T(n)=Θ(g(n))=Θ(n)

依然不费力气，下面再来一个

随便想的栗子一

递归方程如下所示：

T(n)=2T(n4)+Θ(nlgn)

按照上面的步骤走：

1. a=2,b=4,f(n)=nlgn,则g(n)=nlog42<n
2. f(n)大
3. f(n)g(n)=nlgnnlog42>lgn
4. 因此T(n)=Θ(f(n))=Θ(nlgn)

随便想的栗子二

递归方程如下：

T(n)=2T(n2)+Θ(nlgn)

这次再按照上面的步骤走：

1. a=2, b=2, f(n)=nlgn, 则g(n)=n
2. f(n)更大
3. f(n)g(n)=lgn≯lgn
4. 因此，这个递归方程不能够使用Master定理解决

通过上面的几个栗子应该能对Master定理感觉的差不多了吧？但其实，还是有点小小的问题的。

一点问题

我这篇博客里写的Master定理实际上并不是很严谨，为了更加简便理解与使用对原来的Master定理添加了些自己的理解在里面，完整的Master定理的定义可以参考下面维基百科的描述或者直接到《算法导论》中查看。

当然，我理解的版本的Master定理或许有误，欢迎批评指正。