用一道题水过积性函数

就以这道SB题为例，我们来讨论一下实际题目中解决积性函数的简单问题(？).
blog主蒟蒻，如果要找数论神犇请%%%idy002，或者数论大佬%%%%%Doggu。

所以就不给数学上的证明了，请自学（？死记莫比乌斯反演公式）。
基本的莫比乌斯反演:

f(n)=∑d|ng(d)

−>g(n)=∑d|nf(n)μ(⌊nd⌋)

=∑d|nf(⌊nd⌋)μ(d)

=∑(∑k|ndg(k))μ(d)

=∑k|ng(k)[∑d|nkμ(d)]

因为

∑d|nkμ(d)=e(nk),e(n)=[n==1]

所以证毕。
开始：
先考虑数据范围，107,很明显，线性筛。
首先一看这个函数就有φμσ0(就是τ)等函数（也可以考虑有单位函数id(n)=n与幂函数 idk(n)=nk），所以可以使用？？？推公式。

对于f(n),有两个大部分合成。
一个就是(∑d|nφ(d))m,如果你的积性函数还过得去，比blog好的话，你可以看出这玩意儿就是nm,为什么呢？因为

∑d|nφ(d)=n

可以用莫比乌斯反演证明，同类（∑d|ndμ(⌊nd⌋)=φ(n)）.
所以左边就变成了nm,完美，继续。

对于∑d|nτ(d)μ(⌊nd⌋)⌊nd⌋。
对于id(n)=n,这类的函数就是单位函数，是积性函数。那么⌊nd⌋就解决了。
对于μτ就不解释了，肯定是积性函数。

那么一条总要的结论，积性函数*积性函数得到的函数也一定是积性函数。
令g(n)=∑d|nτ(d)μ(⌊nd⌋)⌊nd⌋,那么g(n)也一定是积性函数。

所以我们需要转换公式后在线性筛中筛出g(n),再乘上nm就行了。
还是先解决简单的nm,这玩意儿其实可以看做一个幂函数idk(n)=nk，它也是积性函数，所以也可以在线性筛中单独处理，最后在与另一个乘起来就行了，放在一起处理太累了。。。

关键是处理右边的一坨∑d|nτ(d)μ(⌊nd⌋)⌊nd⌋,推一推公式。
对于线性筛中的操作，若有n为质数，有

g(n)=τ(1)∗μ(1)∗1+τ(n)∗μ(n)∗n=2∗1∗1+1∗(−1)∗n=2−n

。
然后讨论有gcd(a,b)==1,−>g(ab)=g(a)∗g(b),由于已经证明g(n)为积性函数。
最后只需要求解有n,为质数时的g(nk)，就行了。
令h(n)=μ(⌊nd⌋)⌊nd⌋
则对于h(nk)而言，只需要计算n1与n0，因为对于

na,a=1−>μ(n)=−1

a=0−>μ(n0=1)=1

a≥2−>μ(na)=0

所以可以得到

g(na)=τ(na)μ(1)∗1+τ(na−1)μ(n)∗n

g(na)=(a+1)∗1∗1+a∗(−1)∗n

g(na)=a(1−p)+1

然后我们就通过公式在线性筛中实现就行了。

具体代码放置于另一篇blog（NOIP数论训练code）中。