数论小集（2）

数论小集（进阶篇）

1.唯一分解定理

任意一个大于1的正整数都能被表示成若干个素数的乘积且表示方法是唯一的；整理可以将相同素数的合并；可以得到

公式：n = P1^a1 * P2^a2 * …………* Pn^an(P1 < P2 < ……Pn);

用代码求一个数唯一分解后的式子我们可以先打素数表，在一直用质数去除它就行了。

代码：

void Prime(){cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=2;i<=N;i++){if(!vis[i])prime[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=N;j++){vis[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}}void adde(int num){for(int i=0;i<cnt;i++){while(num%pirme[i]==0)e[i]++,num/=prime[i];if(num==1) break;}}

（例如，e={1,0,2,0,0，…}表示2^1*5^2=50）

至于唯一分解定理的用处：

1.可以证明a*b=gcd(a,b)*lcm*(a,b)（好像没啥用。。。。）

2.可以降低运算的数量级。大家都知道，数论的题一般规模很大，也许答案不会很大，但在求答案过程中乘着乘着就溢出了，所以产生了许多奇技淫巧来解决这种问题，唯一分解定理就是其中一个。特别是在有不能取余的除法时，可以通过质因子的约分得出答案。

例题：UVA10375

题意是求C（p,q）/C（r，s），保留五位小数，自然是用阶乘来求排列，再唯一分解一下，约个分，美滋滋。

代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int N=10001;int e[N],vis[N],prime[N];int a,b,c,d,cnt;void Prime(){cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=2;i<=N;i++){if(!vis[i])prime[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=N;j++){vis[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}}double poww(int ba,int b){double base=1.0*ba,res=1.0;int flag=0;if(b<0) b=abs(b),flag=1;while(b){if(b&1) res*=base;base*=base;b>>=1;}if(flag) return 1.0/res;return res;}void adde(int num,int d){for(int i=0;i<cnt;i++){while(num%prime[i]==0)e[prime[i]]+=d,num/=prime[i];if(num==1) break;}}void addfac(int num,int d){for(int i=2;i<=num;i++)adde(i,d);}int main(){//freopen("a.in","r",stdin);Prime();while(scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d)==4){memset(e,0,sizeof(e));addfac(a,1);addfac(b,-1);addfac(a-b,-1);addfac(c,-1);addfac(d,1);addfac(c-d,1);double ans=1.0;for(int i=0;i<=cnt;i++)ans*=poww(prime[i],e[prime[i]]);printf("%.5lf\n",ans);} return 0;}

2.模线性方程（简易）

数论最重要的之一！！

一般形式为解ax≡b（mod n）（注意：“≡”为同余，a≡b（mod n）意为a和b关于模n同余，a-kn=b（k为整数））

则原来的方程可以化为ax-ny=b，这个方程可能有多个解，也有可能无解。而要解决它，没错，就是用扩展欧几里得，所以我们直接用扩欧就可以求出ax0-ny0=gcd(a,n)，此时只需要利用上次讲的两个结论，来判断是否有解，并且将解转化到题目中限制范围（比如说求非负数解啊）

3.逆元

我们在取模运算中，是没有除法的，但是这怎么能阻止数论发展的脚步，所以数论大佬们就发明了逆元！

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

求逆元有以下几种方法：

1.上面的模线性方程就起作用了，既然，那么ax-my=1，当a与m互质时，那我们可以用扩欧求出x，x便是a关于m的逆元了。

2.费马小定理。费马小定理其实欧拉定理的一个子情况，至于欧拉定理，emm。。。反正带欧拉二字的东西都很厉害

这里只是提一下。咳，回到正题，费马小定理：

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（摘自百度百科）

则可推得：a^(m-1)≡1(mod m)--->a*a^(m-2)≡1(mod m)--->a^(m-2)≡1/a(mod m)

所以我们只需要用快速幂取模就行了。

3.线性推逆元。这个可以去看这个链接点击打开链接，这里我只给出递推式：

inv[i] = ( MOD - MOD / i ) * inv[MOD%i] % MOD

4.除法取模的通用式：ans=(a/b)%mod=a%(m*b)/b;

证明如下：

a/b=k*m+x（x<m）

a=k*b*m+b*x

a%(b*m)=b*x

a%(b*m)/b=x

证得。

代码：

//b/a=b*inv(a)(mod m) int poww(int base,int b){int res=1;while(b){if(b&1) res=res*base%m;base=base*base%m;b>>=1;}return res;} void gcd(int a,int b,int& g,int& x,int &y){if(!b) {g=a;x=1;y=0;}else {gcd(b,a%b,g,y,x);y-=x*(a/b);}}int inv1()//线性递推逆元 {inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m; }int inv2()//扩展欧几里得求逆元 {int x,y,g;gcd(a,m,g,x,y);return x;} int inv3()//费马小定理求逆元 {return poww(a,m-2)%m;}int inv4(int a,int b)//取余除法通用法 {//ans=a/b(mod m)ans=a%(m*b)/b;} 

以上算法各有所长，也有各有各的缺点，如扩欧和费马小定理只能在m为质数才行。

4.卢卡斯定理

卢卡斯定理用于较大的组合数取模，有：Lucas定理：我们令n=sp+q , m=tp+r .（q ，r ≤p）p为素数

那么：

一般来讲，使用这个定理一般是在n，m特别大，而p比较小的时候，对于n，m小于p时，我们需要打阶乘表，用组合数的基础算法来求，其余情况在代码实现时只需要一直递归就行了。

代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define LL long longusing namespace std;LL mod,n,m;LL fac[10001];void factor(){fac[0]=1;for(LL i=1ll;i<=mod;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;}LL poww(LL base,LL b){LL res=1ll;while(b){if(b&1) res=(res*base)%mod;base=(base*base)%mod;b>>=1;}return res;}LL C(LL x,LL y){if(y>x) return 0;return (fac[x]*poww(fac[y]*fac[x-y],mod-2))%mod;}LL lucas(LL x,LL y){if(y==0) return 1ll;return (C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod))%mod;}int main(){//freopen("a.in","r",stdin);scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&mod);factor();printf("%lld",lucas(n,m)); return 0;}

没错，这次大部分都是和取模有关的，取模可是重中之重，难上加难。。反正咸鱼脑子现在都还记不全逆元算法。。。