Algorithm8——图论总结

本系列算法实现都是在学习数据结构（C++语言版），清华大学邓俊辉教授编，听邓老师edX网课过程中自己实现的例子。文章中涉及到的图片如无说明均来自邓老师的教材.

参考链接

• 图论算法 有图有代码 万字总结 向前辈致敬

1 概念总结

1.1 图(Graph)的表示

• 顶点Vertex
• 边Edge
• 规模n=|V|,e=|E|
  表示G=(V,E)
• 权重weight， wt(e)即为边e的权重
  表示G(V,E,wt())

1.2 无向图，有向图和混合图

• (1) 无向图undirected graph
  无向边（undirected edge）表示e = (u, v)和e = (v, u)等同。
  与顶点v关联的边数，称作v的度数（degree），记作deg(v)

• (2) 有向图directed graph
  有向边（directed edge）表示e = (u, v)和e = (v, u)不同。e = (u, v)从u指向v, u称作该边的起点（origin）或尾顶点（tail），而v称作该边的终点（destination）或头顶点（head）

• (3) 混合图mixed graph
  同时包含无向边和有向边

有向图的通用性更强，因为无向图和混合图都可转化为有向图。每条无向边(u, v)都可等效地替换为对称的一对有向边(u, v)和(v, u)。具体区别如下图，

1.3 几个易混概念

• 简单图simple graph
  不含任何自环self-loop的图
• 有向无环图directed acyclic graph, DAG
  不含任何环路的有向图
• 带权图weighted graph
  各边均带有权重的图，称作带权图weighted graph或带权网络weighted network，有时也简称网络network

1.4 通路与环路中的图分类

通路表示π=v0,v1,v2,...,vm

1.4.1 通路到简单通路

通路path−→−−−−−−沿途顶点互异简单通路simple path

1.4.2 通路到环路

通路path−→−−−−−−−−−−−−−起止顶点相同（即v0=vm）环路cycle

1.4.3 环路到简单环路、欧拉环路、哈密尔顿环路

(1) 环路cycle−→−−−−−−−−−−−−−−−沿途除v0=vm外所有顶点均互异简单环路 simple cycle

(2) 环路cycle−→−−−−−−−−−−−−−−经过图中各边一次且恰好一次欧拉环路Eulerian tour, 其长度也恰好等于图中边的总数e

(3) 环路cycle−→−−−−−−−−−−−−−−−经过图中各顶点一次且恰好一次哈密尔顿环路Hamiltonian tour，其长度亦等于构成环路的边数

1.5 复杂度

输入规模是顶点数与边数的总和（n + e），但是因为图结构的特殊性，

• 无论顶点多少，边数都有可能为0
• 对于无向图，每一对顶点至多贡献一条边，故总共不超过n(n - 1)/2条边
• 对于有向图，每一对顶点都可能贡献（互逆的）两条边，因此至多可有n(n - 1)条边
• 总之必有e=O(n2)