RMQ问题——ST算法

前言

OI竞赛里常考到区间极值（RMQ，Range Minimum/Maximum Query）问题
解决RMQ问题可以用多种算法or数据结构，线段树、ST算法、高级的树状数组等
这篇blog讲的是ST算法

（我曾经写过线段树的blog，有兴趣可以去看看）

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不墨迹，直接上例题吧

例题

problem

题目描述

2008年9月25日21点10分，酒泉卫星发射中心指控大厅里，随着指挥员一声令下，长征二号F型火箭在夜空下点火起飞，神舟七号飞船载着翟志刚、刘伯明、景海鹏3位航天员，在戈壁茫茫的深邃夜空中飞向太空，开始人类漫步太空之旅。第583秒，火箭以7.5公里／秒的速度，将飞船送到近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道入口。而此时，火箭的燃料也消耗殆尽，即将以悲壮的方式与飞船告别。这个过程，在短短不到10分钟时间内，翟志刚和他的两名战友体会到了从超重到失重的过程。

除了超重和失重的感觉之外，就是浩瀚的长空中璀璨的星星，和地面上看到的星星不同，在太空中看到的星星是成一条直线的，一共有N(1<=N<=100,000)颗星星，编号为1到N,每个星星有自己的体积，由于在飞船中很无聊，除了不停地玩弄手中失重的书和笔之外没有别的事可干，此时翟志刚说我们来玩游戏吧，一共玩了M轮(1<=M<=100,000)，每一轮都是给出两个整数L和R(1<=L<=R<=N)，询问第L到第R颗星星之间最大星星的体积，每次答对的人就可以多休息一段时间。

由于翟志刚还要进行太空漫步，所以他现在请你帮忙，你得到的回报就是太空饼干。

输入

第一行输入N,M

接下来一行N个整数，表示星星的体积(1<=体积<=maxlongint)

接下来M行，每行两个整数L_i,R_i,表示询问区间。

输出

输出M行，每一行表示询问区间L_i到R_i之间最大星星的体积。

样例输入

6 3 5 7 3 9 2 10 1 3 2 4 3 6

样例输出

7 9 10

数据范围限制

提示

【数据说明】

50%的数据满足1<=N,M<=5000

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一道求区间极值的裸题，但是你不可能用O(NM)的时间复杂度去求
不用线段树之类的数据结构维护，那么就用ST算法吧

ST算法

ST算法的核心思想是DP

核心的预处理

设f[i,j]表示[i,i+2j−1]区间里的最大值
明显地，初始化f[i,0]=a[i]，因为[i,i+20]=[i]
DP方程即为f[i,j]=max(f[i,j−1],f[i+2j−1,j−1])

通过下面这张图，我们能很清楚地看出ST算法的构造

以上是预处理的过程

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how to 询问？

如何询问呢？
比如现在我们询问的是[l,r]的极值，设k=int(log2(r−l+1))，那么——

两个区间的max合起来一定是[l,r]的max，∴MAX(l,r)=max(f[l,k],f[r−2k+1,k])

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以上就是ST算法所有的知识点
ST算法预处理时间复杂度O(nlog2n)，总时间复杂度O(nlog2n+q)
空间复杂度O(nlog2n)

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code

#include<bits\stdc++.h>using namespace std;int f[100001][20];int n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&f[i][0]);    }    for (int j=1;j<=floor(log2(n));j++)    for (int i=1;i<=n+1-(1<<j);i++)    {        f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);    }    for (int i=1;i<=m;i++)    {        int l,r;        scanf("%d%d",&l,&r);        int k=floor(log2(r-l+1));        printf("%d\n",max(f[l][k],f[r+1-(1<<k)][k]));    }    return 0;}