【CF622F】The Sum of the k-th Powers （拉格朗日插值法）

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题意：求 ∑ni=1ik
题解：
找规律可以发现前n项k次幂的和一定能用一个k+1次多项式表示出来，所以可以暴力地求出前k+2所对应的值，再用拉格朗日插值法求解即可

L(x)=∑i=1k+2p(i)∗l(i)

其中

p(i)=∑j=1ijk

l(i)=∏j=1,j≠ik+2n−ji−j

令c=∏k+2i=1(n−i)，分母转化为两个阶乘的形式，注意正负号，可得

l(i)=c∗(n−i)−1∗(i−1)!−1∗(k+2−i)!−1∗(−1)k+2−i

预处理出阶乘，逆元，p数组即可，复杂度O(klogk)

//by sdfzchy#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int inf=(1<<30),N=1000100,mod=1e9+7;LL n,k,fac[N],inv[N],c,p[N];inline int in(){    char ch=getchar();    int f=1,tmp=0;    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9') {tmp=(tmp<<1)+(tmp<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}    return tmp*f;}LL ksm(LL a,LL b){    LL ret=1;    while(b)    {        if(b&1) ret=ret*a%mod;        a=a*a%mod;        b>>=1;    }    return ret;}int main(){    scanf("%lld%lld",&n,&k);    for(int i=1;i<=k+2;i++) p[i]=(p[i-1]+ksm(i,k))%mod;    if(n<=k+2) {printf("%lld",p[n]);return 0;}    fac[0]=inv[0]=c=1;    for(int i=1;i<=k+2;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;    inv[k+2]=ksm(fac[k+2],mod-2);    for(int i=k+1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;    for(int i=1;i<=k+2;i++) c=c*(n-i)%mod;    LL ans=0;    for(int i=1;i<=k+2;i++)        ans+=p[i]*c%mod*ksm(n-i,mod-2)%mod*inv[i-1]%mod*inv[k+2-i]%mod*((k+2-i)%2==0?1:-1)%mod;ans=ans%mod;    printf("%lld",(ans+mod)%mod);    return 0;}