最大子列和问题

题目

给定N个整数的序列{A1,A2,....AN},求函数f(i,j)=max{0,∑jk=iAk}的最大值.

解法

算法1： 该算法时间复杂度T(N) = O(N3）

int MaxSubseqSum1(int A[], int N){ int ThisSum, MaxSum = 0;  int i, j, k;  for( i = 0; i < N; i++){  /*i是子列左端位置*/    for(j = i; j < N; j++){  /*j是子列右端位置*/      ThisSum = 0;/*ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和*/      for(k = i; k <= j; k++)          ThisSum += A[K];      if(ThisSum > MaxSum)  /*如果刚得到的这个子列和更大*/        MaxSum = ThisSum;   /*则更新结果*/    }  /*j循环结束*/  }    /*i循环结束*/  return MaxSum;}

算法2：T(N) = O(N2)

int MaxSubseqSum2(int A[], int N){int ThisSum, MaxSum = 0; int i ,j; for(i = 0; i < N; i++){   /*i是子列左端位置*/   ThisSum = 0;    /*ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和*/   for(j = i; j < N; j++){ /*j是子列右端位置*/     ThisSum += A[j];     /*对于相同的i，不同的j只要在j-1次循环的基础上累加1项即可*/     if(ThisSum > MaxSum) /*如果刚得到的这个子列和更大*/       MaxSum = ThisSum;  /*则更新结果*/   } /*j循环结束*/ }  /*i循环结束*/ return MaxSum;}

算法3：分而治之 T(N)=O(N*log N)

具体原理这位大神讲得非常明白，很佩服

int Max3( int A, int B, int C ){ /* 返回3个整数中的最大值 */    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;}int DivideAndConquer( int List[], int left, int right ){ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/   int LeftBorderSum, RightBorderSum;    int center, i;   if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */        if( List[left] > 0 )  return List[left];        else return 0;    }   /* 下面是"分"的过程 */   center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */    /* 递归求得两边子列的最大和 */    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );   /* 下面求跨分界线的最大子列和 */    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */        LeftBorderSum += List[i];        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;    } /* 左边扫描结束 */   MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;   for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */        RightBorderSum += List[i];        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;    } /* 右边扫描结束 */   /* 下面返回"治"的结果 */    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );}int MaxSubseqSum3( int List[], int N ){ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );}

算法4：在线处理 T(N) = N

//”在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任一个地方终止输入，算法都能给出当前的解

int MaxSubseqSum4(int A[], int N){int ThisSum, MaxSum; int i; ThisSum = MaxSum = 0; for(i = 0; i < N; i++){     ThisSum += A[i]; /*向右累加*/     if(ThisSum > MaxSum)         MaxSum = ThisSum; /*发现更大的和则更新当前结果*/     else if(ThisSum < 0) /*如果当前子列和为负*/        ThisSum = 0; /*则不可能使后面的部分和增大，抛弃之*/ } return MaxSum;}