素数

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素数：大于1，并且只能被1和自身整除的数。

方法一：简单判断

bool prime(int n){    if(n<2)        return false;    else    {        for(int i=2;i<sqrt(n);i++)        {            if(n%i==0)                return false;        }    }    return true;}

方法二：埃氏筛法（时间复杂度为O（nlogn））

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于n√的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。 
详细步骤：当n=25时 
列出2以后的所有序列： 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
标出序列中的第一个素数，也就是2，划掉2的倍数，序列变成： 
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 
下一个素数是3，将序列中3的倍数划掉，序列变成： 
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 
下一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，序列成了： 
2 3 5 7 11 13 17 19 23 
因为23小于5的平方，跳出循环. 
结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

代码实现：

void isprime(int n){    memset(prime,1,sizeof(prime));    prime[0]=prime[1]=0;    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)    {        if(prime[i])            for(int j=i*i;j<n;j+=i)                prime[j]=0;    }}

方法三：欧拉筛法

线性筛 效率 O(N) 
可以先估算下N之内素数个数，num≈NlnN，N越大越接近。

N素数个数N/lnN10025221,00016814510,0001,2291086100,0009,59286861,000,00078,4987238210,000,000664,579620421
如果N>10^7，就不适合全素数打表。

代码实现：

int visit[N];int prime[N];int cnt_prime(int n){    memset(visit,1,sizeof(visit));    visit[0]=visit[1]=0;    int num=0;    for(int i=2;i<n;i++)    {        if(visit[i])            prime[num++]=i;        for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=n;j++)        {            visit[i*prime[j]]=0;            if(i%prime[j]==0)                break;        }    }    return num;//素数个数}

因为 每一个合数都可以表示为若干个质数之积 
if(i%prime[j]==0) break;保证了每个合数都能被它最小的一个质因子筛掉，所以大大提高了效率。 
例如x为偶数，只需要被x/2筛就好。 

对于奇数，假设i为9时，prime素数表里有2、3、5、7，先筛掉2*9=18，然后筛掉3*9=27，判断9%3==0，跳出。这是因为9可以分成3*3，如果继续晒5*9，相当于筛3*3*5=3*15，所以在i=15的时候筛就好，而埃氏筛法就没有这个优化。

方法四：费马小定理判断大素数

互质数:公因数只有1的两个非零自然数。 
费马小定理 
对于任意正整数a，假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么ap−1%p≡1。

即：假如a是正整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 
ap−1%p=1是p为质数的必要条件而非充分条件！！ 
卡迈克尔数 
对于任意正整数a，假如p是合数，且gcd(a,p)=1，那么ap−1%p≡1。

根据费马小定理和卡迈克尔数可以知道有些能满足费马小定理的数（p），不一定是质数,也就是说根据费马小定理判断素数并不一定可靠，但我们可以多测几个a的值增大正确率。

利用上述结论，对于给定的整数p，可以设计一个素数判定算法。 
1. 随机选取整数a，2≤a≤n-1，计算d=ap−1%p。 
当d不等于1时，n是合数； 
当d等于1时，n则很可能是素数，对于本次判断来说，判断错误的概率为1/2。 
2. 如此重复多次，可以将判断错误的概率降低至期望值以下。