【JZOJ 5411】【NOIP2017提高A组集训10.22】友谊

Description

Flowey 是一朵能够通过友谊颗粒传播LOVE 的小花．它的友谊颗粒分为两种，
圆粒的和皱粒的，它们依次排列组成了一个长度为2m 的序列．对于一个友谊颗
粒的序列，如果存在1<=i<j<=2m，满足以下条件:
1)i 为偶数，j 为奇数
2)第i 颗友谊颗粒和第j 颗友谊颗粒同为圆粒或同为皱粒
3)第i 颗友谊颗粒和第j 颗友谊颗粒都还没有被使用过
那么，就可以使用这两颗友谊颗粒，然后提升一次LV.
定义一个友谊颗粒的序列为高效的，当且仅当尽可能多的提升LV 后，序列
上剩余的友谊颗粒数量不超过2n。
现在，Flowey 想知道，长度为2m 的友谊颗粒序列，有多少个不同的序列是
高效的?
定义两个友谊颗粒序列是不同的，当且仅当存在1<=i<=2m,第i颗友谊颗粒在
一个序列中为圆粒，而在另一个中为皱粒．
由于答案可能很大，你只需要求出答案对p 取模的结果．

Solution

这题的题解讲得不明不白的
这题的做法是先算出带重复的答案，再想办法去掉重复的，

把原来的序列就是01序列嘛，把它拆开成位置是偶数的序列和奇数的序列，
把它拆成上下两个序列，上边的是奇数的(序列a)，下边的是偶数的(序列b)（这样好看），
这样，题目就变成了，对于每个位置i，ai上的数字去匹配b1~bi−1，相同即匹配成功，（注意：是到i-1，不是到i）

为了好算，我们试着先保证a全部都要匹配上，那么就在b1的前面添加n个虚点，如果ai失配了，它就会连到虚点上，这些虚点有多少个0/1我们就先枚举，
这样，a就要保证全部匹配，
所以，b中（包括虚点）一定有n个是没有匹配的，
（看不懂没关系，继续往下看）

设DP：fi,j表示做到点i，前面有j个0，(n-j)个1，
初始为f0,0...n=1，（枚举0/1分别有多少个）
转移就直分4 种情况，分别枚举ai,bi是什么，

fi,j=fi−1,j+fi−1,j+1+fi−1,j−1+fi−1,j

显然。这样会算重，因为：
比如：n=3,
对于一种转移方案，它用到了虚点中的2个1，
那么对于虚点为0,1,1的情况，它被计算了，
那么对于虚点为1,1,1的情况，它也被计算了，
原因是它只用了2个1，所以剩下那个是什么都没有影响，所以就重复了，

所以，只有当虚点中的0或1被全部用完了，这个状态才能被计算，（这样就不会重了嘛）
当然，如果有虚点有0且非虚点也有0，你强制去匹配虚点的而不是非虚点的，这样强制把虚点用完的不算，

也就是，在转移的过程中，如果有一个状态的j=0（0没了）或j=m（1没了），那么就表示它的虚点以用完了，以后也肯定是用完的（你不能然它吐出来吧），

所以多维护一个状态fsi,j，表示转移过来的所有状态中，有多少个是经过了k=0或j=m的，
转移方程与f一样，就是又这么一条：
if(0==j||j==m)fs[i][j]=f[i][j];

最后答案就是fsn,i之和

复杂度：O(nm)

Code

#include <cstdio>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long LL;const int N=3500;int read(int &n){    char ch=' ';int q=0,w=1;    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;}int m,n,mo,ans;int f[N][N],fs[N][N];int main(){    freopen("friend.in","r",stdin);    freopen("friend.out","w",stdout);    int q,w;    read(m),read(n),read(mo);    fo(i,0,m)f[0][i]=1;    fo(i,1,n)    {        fo(j,0,m)        {            if(j<m)            {                f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j+1]);                if(f[i][j]>=mo)f[i][j]-=mo;                fs[i][j]=(fs[i-1][j]+fs[i-1][j+1]);                if(fs[i][j]>=mo)fs[i][j]-=mo;            }            if(j)            {                f[i][j]+=f[i-1][j-1];                if(f[i][j]>=mo)f[i][j]-=mo;                fs[i][j]+=fs[i-1][j-1];                if(fs[i][j]>=mo)fs[i][j]-=mo;                f[i][j]+=f[i-1][j];                if(f[i][j]>=mo)f[i][j]-=mo;                fs[i][j]+=fs[i-1][j];                if(fs[i][j]>=mo)fs[i][j]-=mo;            }            if(!j||j==m)fs[i][j]=f[i][j];        }    }    ans=0;    fo(j,0,m)    {        ans+=fs[n][j];        if(ans>=mo)ans-=mo;    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}