【基础算法】(08)五大常用算法之四：回溯法

【基础算法】(08)五大常用算法之四：回溯法

Auther: Thomas Shen
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Date: 2017/10/24
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1. 简述：

本系列介绍了五大常用算法，其中本文是第四篇，介绍了 ‘回溯算法’ 的细节内容。

2. 算法原理：

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2.1 基本思想：

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

2.2 算法步骤：

1. 针对所给问题，确定问题的解空间;
2. 首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解;
3. 确定结点的扩展搜索规则;
4. 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

3. 代码框架：

1. 问题框架：

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

1. 非递归回溯框架：

int a[n],i;初始化数组a[];i = 1;while (i>0(有路可走) and (未达到目标))  // 还未回溯到头{    if(i > n) // 搜索到叶结点    {           搜索到一个解，输出；    }    else // 处理第i个元素    {         a[i]第一个可能的值；        while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)        {            a[i]下一个可能的值；        }        if(a[i]在搜索空间内)        {            标识占用的资源；            i = i+1; // 扩展下一个结点        }        else         {            清理所占的状态空间； // 回溯            i = i –1;         }    }}

1. 递归的算法框架：

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单。

在回溯法执行时，应当：保存当前步骤，如果是一个解就输出；维护状态，使搜索路径（含子路径）尽量不重复。必要时，应该对不可能为解的部分进行剪枝(pruning)。

bool finished = FALSE; /* 是否获得全部解? */backtrack(int a[], int k, data input){    int c[MAXCANDIDATES]; /*这次搜索的候选 */    int ncandidates; /* 候选数目 */    int i; /* counter */    if (is_a_solution(a,k,input))        process_solution(a,k,input);    else {        k = k+1;        construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates);        for (i=0; i<ncandidates; i++) {            a[k] = c[i];            make_move(a,k,input);            backtrack(a,k,input);            unmake_move(a,k,input);            if (finished)                 return; /* 如果符合终止条件就提前退出 */        }    }}

对于其中的函数和变量，解释如下：
a[]表示当前获得的部分解；
k表示搜索深度；
input表示用于传递的更多的参数；
is_a_solution(a,k,input)判断当前的部分解向量a[1…k]是否是一个符合条件的解；
construct_candidates(a,k,input,c,ncandidates)根据目前状态，构造这一步可能的选择，存入c[]数组，其长度存入ncandidates；
process_solution(a,k,input)对于符合条件的解进行处理，通常是输出、计数等；
make_move(a,k,input)和unmake_move(a,k,input)前者将采取的选择更新到原始数据结构上，后者把这一行为撤销。

4. 应用案例：

1. 0-1背包问题；
2. 旅行售货员问题；
3. 八皇后问题；
4. 迷宫问题；
5. 图的m着色问题。

1. 0-1背包问题：

问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

#include <stdio.h>  #define N 3         //物品的数量  #define C 16        //背包的容量  int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量  int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值  int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量  int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值  int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0  int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  //t = 0 to N-1  void backtrack(int t)  {      //叶子节点，输出结果      if(t>N-1)       {          //如果找到了一个更优的解          if(CurValue>BestValue)          {              //保存更优的值和解              BestValue = CurValue;              for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];          }      }      else      {          //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包          for(int i=0;i<=1;++i)          {              x[t]=i;              if(i==0) //不放入背包              {                  backtrack(t+1);              }              else //放入背包              {   //约束条件：放的下                  if((CurWeight+w[t])<=C)                  {                      CurWeight += w[t];                      CurValue += v[t];                      backtrack(t+1);                      CurWeight -= w[t];                      CurValue -= v[t];                  }              }          }          //PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁      }  }  int main(int argc, char* argv[])  {      backtrack(0);      printf("最优值：%d\n",BestValue);      for(int i=0;i<N;i++)      {         printf("最优解：%-3d",BestX[i]);      }      return 0;  }  

2. 旅行售货员问题：
问题描述：
某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
如下图：1，2，3，4 四个城市及其路线费用图，任意两个城市之间不一定都有路可达。

回溯法：
http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931

/*********************************************************  *问  题：旅行售货员  *算  法：回溯法  *描  述：解空间为 排列树  *********************************************************/  #include <stdio.h>  #define N 4                //城市数目  #define NO_PATH -1         //没有通路  #define MAX_WEIGHT 4000  int City_Graph[N+1][N+1];  //保存图信息  int x[N+1];                //x[i]保存第i步遍历的城市  int isIn[N+1];             //保存 城市i是否已经加入路径  int bestw;                 //最优路径总权值  int cw;                    //当前路径总权值  int bestx[N+1];            //最优路径  //-----------------------------------------------------------------  void Travel_Backtrack(int t){        //递归法      int i,j;      if(t>N){                         //走完了，输出结果          for(i=1;i<=N;i++)            //输出当前的路径              printf("%d ",x[i]);          printf("/n");          if(cw < bestw){              //判断当前路径是否是更优解              for (i=1;i<=N;i++){                  bestx[i] = x[i];              }              bestw = cw;          }          return;      }      else{          for(j=1;j<=N;j++){           //找到第t步能走的城市              if(City_Graph[x[t-1]][j] != NO_PATH && !isIn[j]){ //能到而且没有加入到路径中                  isIn[j] = 1;                  x[t] = j;                  cw += City_Graph[x[t-1]][j];                  Travel_Backtrack(t+1);                  isIn[j] = 0;                  x[t] = 0;                  cw -= City_Graph[x[t-1]][j];              }          }      }  }  void main(){      int i;      City_Graph[1][1] = NO_PATH;      City_Graph[1][2] = 30;      City_Graph[1][3] = 6;      City_Graph[1][4] = 4;      City_Graph[2][1] = 30;      City_Graph[2][2] = NO_PATH;      City_Graph[2][3] = 5;      City_Graph[2][4] = 10;      City_Graph[3][1] = 6;      City_Graph[3][2] = 5;      City_Graph[3][3] = NO_PATH;      City_Graph[3][4] = 20;      City_Graph[4][1] = 4;      City_Graph[4][2] = 10;      City_Graph[4][3] = 20;      City_Graph[4][4] = NO_PATH;      //测试递归法      for (i=1;i<=N;i++){          x[i] = 0;               //表示第i步还没有解          bestx[i] = 0;           //还没有最优解          isIn[i] = 0;           //表示第i个城市还没有加入到路径中      }      x[1] = 1;                   //第一步 走城市1      isIn[1] = 1;                //第一个城市 加入路径      bestw = MAX_WEIGHT;      cw = 0;      Travel_Backtrack(2);        //从第二步开始选择城市      printf("最优值为%d/n",bestw);      printf("最优解为:/n");      for(i=1;i<=N;i++){          printf("%d ",bestx[i]);      }      printf("/n");  }  

分支界限法：
http://blog.csdn.net/JarvisChu/article/details/5974895

3. N皇后问题：
问题：
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

分析：
从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。
使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。
全局变量way表示总共的摆放方法数目。

使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆 放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

/************************************************************************   * 名  称：NQueen.cpp  * 功  能：回溯算法实例：N皇后问题   * 作  者：JarvisChu   * 时  间：2013-11-13   ************************************************************************/   #include <stdio.h>     #define N 8  int Board[N][N];<span style="white-space:pre">  </span>//棋盘 0表示空白 1表示有皇后  int way;<span style="white-space:pre">      </span>//摆放的方法数  //判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以  int Feasible(int row,int col)  {      //位置不合法      if(row>N || row<0 || col >N || col<0)          return 0;      //该位置已经有皇后了，不能      if(Board[row][col] != 0)      {   //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率          return 0;      }      //////////////////////////////////////////////////      //下面判断是否和已有的冲突      //行和列是否冲突      for(int i=0;i<N;++i)      {          if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)              return 0;      }      //斜线方向冲突      for(int i=1;i<N;++i)      {  /* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度 左上角 \  / 右上角   i=2         \/           i=1         /\           i=1 左下角 /  \ 右下角   i=2 */          //左上角          if((row-i)>=0 && (col-i)>=0)    //位置合法          {              if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突                  return 0;          }          //左下角          if((row+i)<N && (col-i)>=0)          {              if(Board[row+i][col-i] != 0)                  return 0;          }          //右上角          if((row-i)>=0 && (col+i)<N)          {              if(Board[row-i][col+i] != 0)                  return 0;          }          //右下角          if((row+i)<N && (col+i)<N)          {              if(Board[row+i][col+i] != 0)                  return 0;          }      }      return 1; //不会发生冲突，返回1  }  //摆放第t个皇后 ；从1开始  void Queen(int t)  {      //摆放完成，输出结果      if(t>N)      {          way++;          /*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果         for(int i=0;i<N;++i){             for(int j=0;j<N;++j)                 printf("%-3d",Board[i][j]);             printf("\n");         }         printf("\n------------------------\n\n");         */      }      else      {          for(int i=0;i<N;++i)          {              for(int j=0;j<N;++j)              {                  //（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突                  if(Feasible(i,j))                  {                      Board[i][j] = 1;  //摆放皇后t                      Queen(t+1);       //递归摆放皇后t+1                      Board[i][j] = 0;  //恢复                  }              }          }      }  }  //返回num的阶乘,num!  int factorial(int num)  {      if(num==0 || num==1)          return 1;      return num*factorial(num-1);  }  int main(int argc, char* argv[])  {      //初始化      for(int i=0;i<N;++i)      {          for(int j=0;j<N;++j)          {              Board[i][j]=0;          }      }      way = 0;      Queen(1);  //从第1个皇后开始摆放      //如果每个皇后都不同      printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种      //如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）      printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种         return 0;  }  

PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。

4. ：

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References. ：

• [ 1 ]. Coursera | Java程序设计 | PKU
• [ 2 ]. http://blog.csdn.net/yake827/article/details/52119469
• [ 3 ]. http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/p/3273337.html
• [ 4 ]. http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319
• [ 5 ]. http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931
• [ 6 ].