AGC010

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题意简述

给出一个由n(n≤105)个数构成的环，每次可以选择一个位置并从这个数起顺时针依次对每个数-1，-2，-3，…，-n。问能否将所有数全变为0。

分析

考虑一次操作对环带来了什么影响。
(在an后加一个a1来表示数环)
6,3,5,7,9(,6) -> 5,1,2,3,4(,5)
5,1,2,3,4(,5) -> 0,0,0,0,0(,0)
差分后：
−3,2,2,2,−3 -> −4,1,1,1,1
−4,1,1,1,1 -> 0,0,0,0,0
可以看到，一次操作相当于对差分数列（或者说是差分环）的一个位置加上n-1，剩下的位置减去1。那么只要检查原环的差分数列能否全变为0，并且此时和也为0就行了。
对每一个位置的计算复杂度为O(1)，总时间复杂度为O(n)。

实现

每次操作会使和sum减少 s0=n(n+1)/2，那么总共进行了 k=sum/s0 次操作。如果k不为整数那么不可行。
差分数列的每个位置要能在数个 +(n−1) 和 −1 后变为0，否则不可行。
列式表示为 (ai+1−ai)+xi(n−1)−(k−xi)=0，如果任何一个xi不为整数那么不可行。
最后，如果∑xi≠k说明此时sum≠0，不可行。

代码

#include <cstdio>typedef long long lint;int const N=1e5+10;int n,a[N];int dif[N];int main(){    freopen("b.in","r",stdin);    scanf("%d",&n);    if(n==1) {printf("YES"); return 0;}    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);    a[n+1]=a[1];    lint s=(lint)n*(n+1)>>1,sum=0;    for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i],dif[i]=a[i+1]-a[i];    if(sum%s!=0) {printf("NO"); return 0;}    lint k=sum/s,sumX=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        lint x=(k-dif[i])/n;        if(x<0 || x*n!=k-dif[i]) {printf("NO"); return 0;}        sumX+=x;    }    if(sumX==k) printf("YES");    else printf("NO");    return 0;}

注意

开longlong！int*int也有可能爆int，要先转成longlong再乘！
连WA六发…