奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
来源:互联网 发布:html引用json文件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 18:18
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奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,它不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结,并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。
1. 回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:
其中A是一个
求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的
其中W是这
一般我们会把W的这
这样我们的特征分解表达式可以写成
注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。
2. SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个
其中U是一个
那么我们如何求出SVD分解后的
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到
这样我们就可以得到矩阵
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到
这样我们就可以得到矩阵
U和V我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵
我们注意到:
这样我们可以求出我们的每个奇异值,进而求出奇异值矩阵
上面还有一个问题没有讲,就是我们说
上式证明使用了:
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:
这样也就是说,我们可以不用
3. SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为:
我们首先求出
进而求出
接着求
利用
当然,我们也可以用
最终得到A的奇异值分解为:
4. SVD的一些性质
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述,似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢?
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:
其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵
由于这个重要的性质,SVD可以用于PCA降维,来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。
5. SVD用于PCA
在主成分分析(PCA)原理总结中,我们讲到要用PCA降维,需要找到样本协方差矩阵
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵
另一方面,注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?
假设我们的样本是
可以得到一个
6. SVD小结
SVD作为一个很基本的算法,在很多机器学习算法中都有它的身影,特别是在现在的大数据时代,由于SVD可以实现并行化,因此更是大展身手。SVD的原理不难,只要有基本的线性代数知识就可以理解,实现也很简单因此值得仔细的研究。当然,SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强,有点黑盒子的味道,不过这不影响它的使用。
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