【AGC006C】Rabbit Exercise

题目描述

　　有n只兔子站在数轴上。为了方便，将这些兔子标号为1…n。第i只兔子的初始位置为ai。

　　现在这些兔子会按照下面的规则做若干套体操。每一套体操由m次跳跃组成；在第j次跳跃的时候，第cj(2≤cj≤n−1)只兔子会等概率随机选择第cj−1或cj+1只兔子中的一只（不妨设选择了第x只兔子），然后跳当前位置到关于第x只兔子对称的点。

　　这些兔子会按顺序做k套相同的体操。现在请你求出，每一只兔子做完k套体操之后最终位置坐标的期望值。

　　n,m≤100000,k≤1018

题解

　　每次操作ax=12(2ax−1−ax)+12(2ax+1−ax)=ax−1+ax+1−ax

　　可以发现这是一个线性变换，可以直接计算。

　　那么有什么规律吗？

　　假设有三个数a1,a2,a3，c1=2。

　　变换后会得到a1,a1+a3−a2,a3。

　　我们差分一下：

a1,a2,a3a1,a1+a3−a2,a3→a1,a2−a1,a3−a2→a1,a3−a2,a2−a1

　　相当于把ac1,ac1+1交换了一下。

　　所以可以直接把m次操作看成m个交换，做完这些操作看成1到n的置换。把整个置换拆成很多个轮换，直接在每个轮换上面走k步就行了。

　　时间复杂度：O(n+m)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<int,int> pii;ll a[100010];int c[100010];int b[100010];int d[100010];ll ans[100010];int main(){#ifdef DEBUG    freopen("b.in","r",stdin);    freopen("b.out","w",stdout);#endif    int n;    scanf("%d",&n);    int i;    ll sum=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%lld",&a[i]);        a[i]-=sum;        sum+=a[i];        c[i]=i;    }    int m;    ll k;    scanf("%d%lld",&m,&k);    int x;    for(i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d",&x);        swap(c[x],c[x+1]);    }    for(i=1;i<=n;i++)        if(!b[i])        {            int cnt=0;            int j;            for(j=i;!b[j];j=c[j])            {                b[j]=1;                d[++cnt]=j;            }            for(j=1;j<=cnt;j++)                ans[d[j]]=a[d[(j+k-1)%cnt+1]];        }    for(i=1;i<=n;i++)    {        ans[i]+=ans[i-1];        printf("%lld.0\n",ans[i]);    }    return 0;}