线性模型（linear model）

注：arg    是变元（即自变量argument）的英文缩写。arg min 就是使后面这个式子达到最小值时的变量的取值arg max 就是使后面这个式子达到最大值时的变量的取值

形式：**f(**x)=w.x+b
参数解释：
x：列向量，n维表示样本的n种特征
w：为每个特征对应的权重生成的权重向量
案例：
以房价与房屋面积的例子引出线性回归问题，首先定义一些符号：
m：训练数据的大小
x：输入变量，是向量
y：输出变量，是实数
（x,y）：一个训练实例
假设函数如下：

我们找出使这个函数最小的参数值，就得到了拟合训练的最佳参数。

公式6是针对只有一个训练实例的情况，这也被称为最小二乘法（LMS）。
考虑到所有m个训练实例，更新变化规则为：

运行这个规则直到收敛，就是批梯度下降算法。规则中的a是学习率，这个需要在实践中进行调整，其值过小会导致迭代多次才能收敛，其值过大会导致越过最优点发生震荡现象。
对于公式7的解法，当数据量较大时，每迭代一次就要遍历全部数据一次，这样会使运行变成龟速。解决方法如下：

即更新参数时，不必遍历整个数据集，只需要一个实例便足够了。该算法可以达到很高的效果，但是会导致遍历次数增多，不能精确收敛到最优值等问题。该方法被称为增量梯度下降或随机梯度下降。

逻辑回归
对于目标值是连续变量的问题来说，使用线性回归效果不错。但对于目标值是离散变量的分类问题来说，有一定困难。
对于目标值是离散变量的两分类，假设目标值为{0,1}，所以先改变模型使其预测值在[0,1]之间，我们选择这样一个函数：


其中，函数g被称为logistic函数或sigmoid函数。

注：上面公式第一行有错误

公式18与最小二乘法的形式一样，但实际上是不一样的，因为函数h不一样。
总结：逻辑回归就是一个被Logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

线性判别分析（LDA）
训练时：设法将训练样本投影到一条直线上，使得同类样本的投影点尽可能接近、异类样本的投影点尽可能远离。要学习的就是这样一条直线。
预测时：将待预测样本投影到学到的直线上，根据它的投影点的位置来判定它的类别。
在scikit-learn中，LinearDiscriminantAnalysis实现了线性判别分析模型。其原型为：
class sklearn.discriminant_analysis.LinearDiscriminantAnalysis(solver=’svd’,shrinkage=None,priors=None,n_components=None,store_covariance=False,tol=0.0001)
参数：
1、solver：一个字符串，指定求解最优化问题的算法
2、shrinkage：字符串’auto’或浮点数’None’。
3、priors：一个数组，数组中的元素依次指定了每个类别的先验概率。
4、n_components：一个整数，指定了数据降维后的维度。
5、store_covariance：一个布尔值。
6、tol：一个浮点值，它指定了svd算法中评判迭代收敛的阈值。
案例：
检查一下原始数据集在经过线性判别分析LDA之后的数据集的情况，给出绘制LDA降维之后的数据集（鸢尾花数据集）的函数：

def plot_LDA(converted_X,y):    '''    绘制经过 LDA 转换后的数据    :param converted_X: 经过 LDA转换后的样本集    :param y: 样本集的标记    :return:  None    '''    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D    fig=plt.figure()    ax=Axes3D(fig)    colors='rgb'    markers='o*s'    for target,color,marker in zip([0,1,2],colors,markers):        pos=(y==target).ravel()        X=converted_X[pos,:]        ax.scatter(X[:,0], X[:,1], X[:,2],color=color,marker=marker,            label="Label %d"%target)    ax.legend(loc="best")    fig.suptitle("Iris After LDA")    plt.show()

然后调用该函数：

X_train,X_test,y_train,y_test=load_data()X=np.vstack((X_train,X_test)Y=np.vstack((y_train.reshape(y_train.size,1),y_test.reshape(y_test.size,1)))lda=discriminant_analysis.LinearDiscriminatAnalysis()lda.fit(X,Y)conveted_X=np.dot(X,np.transpose(lda.coef_))+lda.intercept_plot_LDA(converted_X,Y)

执行结果如图所示：

可以看到经过线性判别分析之后，不同种类的鸢尾花之间的间隔较远；相同种类的鸢尾花之间相互聚集。
简单来说：LDA就是使同类样本的投影点尽可能接近，异类样本的投影点尽可能远离。