算法——硬币选择问题（dp、贪心）

本题来自2015级算法第四次上机

A 怠惰的王木木Ⅱ

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通过率：1/165 (0.61%)    正确率：1/416 (0.24%)

题目描述

王木木又到Magry家里打工了，这次的工作是找零钱。

作为一名合格的收银员，必须快速的计算价格并找钱给顾客。王木木很懒所以找钱是都希望用尽可能少的纸币。现在，假设收银台有面值为1元、5元、10元、20元、50元、100元的纸币各Ai、Bi、Ci、Di、Ei、Fi 张，需要找的钱的数额为X元，那最少需要多少张纸币呢？假定至少存在一种找钱方案。

输入

多组测试数据，对于每组数据，输入两行，

第一行为6个整数，分别代表1元、5元、10元、20元、50元、100元的纸币张数

第二行为一个正整数A，代表需要支付的钱数。所有整数Intager都在 0≤Intager≤1000 范围内，1≤A≤1000。

输出

对于每组数据，输出一行，为最少的纸币张数

输入样例

1 2 3 4 5 6176

输出样例

5

之前练习赛做过一道硬币找零问题，它的面值是1,5,10,50,100,500，完全的贪心题型，为什么这里可以用贪心，我们知道，贪心是有条件的，在本题中贪心策略的前提非常简单，即大额硬币必须是所有面值小于它的硬币的面值倍数。原因：http://blog.csdn.net/hwdopra/article/details/6318746。

那么本题呢？面值分别是1,5,10,20,50,100，这就不符合之前贪心的使用条件，比如输入（10,0,0,3,1,0,60,），60=50*1+10*1，60=20*3，就本题来说，要解决这个问题还是不难的，对50面值的特殊对待，我就从0~coinNum[4]循环一边，其他的依然贪心处理。这个问题就解决了，代码如下（DP内为动态规划做法）。

////  main.cpp//  怠惰的王木木Ⅱ////  Created by Angus on 2017/10/24. //  Copyright © 2017年 Angus. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cmath>//#define DPusing namespace std;#ifdef DP#define INF 0x3f3f3f3fint V[10] = {0, 1, 5, 10, 20, 50, 100};//硬币面值long long C[10];//硬币对应的个数long long dp[1005][100005];long long A;void solve(){    long long n = 6;    for(int i = 1;i <= n;i++)//初始化    {        for(int j = 0;j <= A;j++)        {            if(j == 0)//找出0块钱                dp[i][j] = 0;            else if(i == 1)//最小面值初始化            {                if(j % V[i] == 0 && j / V[i] <= C[i])                    dp[1][j] = j / V[i];                else                    dp[1][j] = INF;            }            else                dp[i][j] = INF;        }    }        for(int i = 2;i <= n;i++)//构造dp数组    {        for(int j = 1;j <= A;j++)        {            for(int k = 0;k <= C[i];k++)            {                if(dp[i][j] > dp[i-1][j - k * V[i]] + k && j - k * V[i] >= 0)                    dp[i][j] = dp[i-1][j - k * V[i]] + k;            }        }    }//    for (int i = 0; i <= n; i++)//    {//        for (int j = 0; j <= A; j++)//        {//            if(dp[i][j] == INF)//                printf("INF ");//            else//                printf("%lld ",dp[i][j]);//        }//        printf("\n");//    }    if(dp[n][A] != INF)        printf("%lld\n",dp[n][A]);    else        printf("error\n");}int main(){    while (~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&C[1],&C[2],&C[3],&C[4],&C[5],&C[6],&A))    {        solve();    }    return 0;}#endif//贪心算法int V[6] = {1, 5, 10, 20, 50, 100};//硬币面值long long C[6];//硬币对应的个数long long A, B;void Solve()//求最小需要的硬币数{    long long ans1 = 0, ans2 = 9999;    long long t = min(A / V[5], C[5]);    A -=  V[5] * t;    ans1 = t;    B = A;    for (int i = 0; i <= min(B / V[4], C[4]); i++)    {        A = B;        A -=  V[4] * i;        long long tmp = 0;        for(int j = 3; j >= 0; j--)        {            long long k = min(A / V[j], C[j]);            A -=  V[j] * k;            tmp += k;            //printf("%lld\n",k);        }        if(A == 0)            ans2 = min(ans2,tmp + i);    }    cout << ans1 + ans2 <<endl;}int main(){    while (~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&C[0],&C[1],&C[2],&C[3],&C[4],&C[5],&A))    {        Solve();    }    return 0;}

但是，不能满足于此，如果给任意面值任意数量呢？我们知道，贪心可以说是动态规划的一小类特殊问题的解法，所以这里要用动态规划。

问题定义：dp[i][j] 表示当前i种硬币找j块钱最少硬币数，dp[n][m] 是我们要求的最终结果。

那么如何把这个大问题分解成小的同类问题？dp[i][j]=min{dp[i][j],dp[i-1][j–k*CoinValue[i]]+k}，条件k<[0, coinNum[i]]&&j-k* coinValue[i] >= 0，即对每一个硬币都遍历一次。

举个例子，coinValue[]= {1，2，5}，每一种硬币的数量是有限的，分别是CoinNum[]={3, 3, 3}，给定一个数值m=18， dp[3][ 18] = min{dp[2][18] + 0,dp[2][18-1*5]+1, dp[2][18-2*5] + 2,dp[2][18- 3* 5] + 3}，也就是说dp [3][18]可以分解为当对于5块值得硬币选0个，选1个，选2个，选3个之后的子问题，当选完5这种硬币时，接下来只有1块和2块的硬币可选， 于是子问题就变成dp[2][18],dp[2][13],dp[2][8], dp[2][3]。

注：参考代码二是普遍情况：求n中面值找出m零钱的最小硬币数，非AC代码，可做模板。

参考资料：http://blog.csdn.net/suwei19870312/article/details/9296415。

#include<cstdio>#define INF 0x3f3f3f3fint dp[11][20002];//dp[i][j]前i种硬币找j块钱最少硬币数int coinValue[11],coinNum[11];//面值及其数量int main(){    int i,j,k,n,m;//n种面值，找出m块零钱    while(~scanf("%d",&n))    {        for(i=1;i<=n;i++)//按面值升序输入            scanf("%d%d",&coinValue[i],&coinNum[i]);                scanf("%d",&m);                for(i=1;i<=n;i++)//初始化        {            for(j=0;j<=m;j++)            {                if(j==0)//找出0块钱                    dp[i][j]=0;                else if(i==1)//最小面值初始化                {                    if(j%coinValue[i]==0&&j/coinValue[i]<=coinNum[i])                        dp[1][j]=j/coinValue[i];                    else                        dp[1][j]=INF;                }                else                    dp[i][j]=INF;            }        }                for(i=2;i<=n;i++)//构造dp数组            for(j=1;j<=m;j++)                for(k=0;k<=coinNum[i];k++)                    if(dp[i][j]>(dp[i-1][j-k*coinValue[i]]+k)&&(j-k*coinValue[i])>=0)                        dp[i][j]=dp[i-1][j-k*coinValue[i]]+k;//        for (int i = 0; i <= n; i++)//        {//            for (int j = 0; j <= m; j++)//            {//                if(dp[i][j] == INF)//                    printf("INF ");//                else//                    printf("%d ",dp[i][j]);//            }//            printf("\n");//        }        if(dp[n][m]!=INF)            printf("%d\n",dp[n][m]);        else            printf("-1\n");    }    return 0;}

问题拓展

硬币组合问题

假设现有3种硬币，{1,2,5}, 但是每种硬币的个数没有限制，可以是无限，现在问要筹成18， 有多少种组合方式？

思路： 动态规划。

问题定义：

dp[n][m]表示当目标值为n, 有m种硬币可选的时候的组合数，同样，dp[18][3]是我们要求的最终结果。

同样,dp[n][m] = sum{dp[n – i*CoinValue[m]][m-1]}    条件 n-i*CoinValue[m] >=0

那么dp[18][3] =dp[18][2] + dp[13][2] + dp[8][2] + dp[3][2].

也就是说dp[18][3]可以分解为当对于5分值得硬币选0个，选1个，选2，选3个之后的子问题，当选完5这种硬币时，接下来只有1分和2分的硬币可选， 于是子问题就变成为dp[18][2],dp[13][2], dp[8][2], dp[3][2].

代码：http://blog.sunchangming.com/post/54899551762