MIT算法导论公开课第八讲全域哈希和完全哈希

全域哈希      

     对于任意哈希函数而言，都存在一个不好的健集，使得所有的健都会哈希到同一个槽里去，那么如何解决这种情况呢？如何防止对某个键集永远有较差的表现？如何防止竞争对手使用这个键集来降低你的性能表现？ 一个词解决这个问题 —— 随机！

全域哈希的方法就是随机选择一个哈希函数H（当然不是每次操作都选择一个哈希函数，而是构建一个哈希表的时候随机选一个，选定之后这个哈希表的所有操作都是基于这个哈希函数，这种方法可以防止竞争对手别有用心的设计一个键集，同时也能避免某些键集永远会导致较差的性能，如果是，那么重新建一个表就行！）

定义：设U为键的全域，H是哈希的有限集，H里面的每个哈希函数h将集合U映射到哈希表的m个位置上，如果哈希表满足：对于U里面的两个值x,y x≠y {h∈H：h（x）=h（y）}=|H|/m，那么H就是全域的。
|H|的意思是指全域哈希函数的个数，那么从里面任意取一个函数h，这个函数把x和y哈希到同一个位置的概率就是1/m，也就是说，这些函数都是均匀函数。

定理：用h来将任意n个键哈希到大小为m的表T里，使用链表法解决冲突，如果关键字k不在表中，则关键字k被哈希到其中链表的长度至多为α。

证明：设   是表示与key x冲突的键值数量的随机变量，设   是指示变量，即

则，    且       ，则：

最后结果就等于（n-1）/m。所以总共与x可能有冲突的建小于α个。                                        

完全哈希                                      

当键值是static(即固定不变)的时候，也就是只考虑查询的情况。我们可以设计方案使得最差情况下的查询性能也很出色，这就是完全哈希。

完全哈希的思想就是采用两级的框架，每一级上都用全域哈希：

完美哈希的结构如上图。具体来说，第一级和带链表的哈希非常的相似，只是第一级发生冲突后后面接的不是链表，而是一个新的哈希表。

为了保证不冲突，每个二级哈希表的数量是第一级映射到这个槽中元素个数的平方，这样可以保证整个哈希表非常的稀疏。下面给出一个定理，能更清楚的看到设置m=n^2的作用

定理：设H是一类全域哈希函数，哈希表的槽数m=n^2. 那么，如果我们用一个随机函数 把n个关键字映射到表中。冲突次数的期望最多是1/2.

证明：根据全域哈希的定义，对任意选出的哈希函数h，表中2个给定keys冲突的概率是1/m,即1/n^2

且总共有    可能的键值对，那么冲突次数的期望就是     /      证毕！

推论： 完美哈希没有冲突的概率至少是1/2

证明：主要用到马尔科夫不等式：

Pr{X≥t}≤E[x]/t

利用这个不等式，让t=1,即可得到冲突次数大于1的概率最多为1/2

参考：

算法导论

http://www.cnblogs.com/soyscut/p/3396216.html?utm_source=tuicool&utm_medium=referral

http://www.guokr.com/blog/483599/