重温数据结构：二叉排序树的查找、插入、删除

现在我们来介绍二叉树的一种特殊形式 — 二叉排序树，了解它的区分策略及常用操作。

什么是二叉排序树 Binary Sort Tree, BST

二叉排序树，又称二叉查找树、二叉搜索树、B树。

二叉排序树是具有下列性质的二叉树：

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
• 左、右子树也分别为二叉排序树。

也就是说，二叉排序树中，左子树都比节点小，右子树都比节点大，递归定义。

根据二叉排序树这个特点我们可以知道，二叉排序树的中序遍历一定是从小到大的，比如上图，中序遍历结果是：

1 3 4 6 7 8 10 13 14

二叉排序树的关键操作

1.查找

根据二叉排序树的定义，我们可以知道在查找某个元素时：

• 先比较它与根节点，相等就返回；或者根节点为空，说明树为空，也返回；
• 如果它比根节点小，就从根的左子树里进行递归查找；
• 如果它比根节点大，就从根的右子树里进行递归查找。

可以看到，这就是一个 二分查找。

代码实现：

public class BinarySearchTree {    private BinaryTreeNode mRoot;   //根节点    public BinarySearchTree(BinaryTreeNode root) {        mRoot = root;    }    /**     * 在整个树中查找某个数据     *     * @param data     * @return     */    public BinaryTreeNode search(int data) {        return search(mRoot, data);    }    /**     * 在指定二叉排序树中查找数据     *     * @param node     * @param data     * @return     */    public BinaryTreeNode search(BinaryTreeNode node, int data) {        if (node == null || node.getData() == data) {    //节点为空或者相等，直接返回该节点            return node;        }        if (data < node.getData()) {    //比节点小，就从左子树里递归查找            return search(node.getLeftChild(), data);        } else {        //否则从右子树            return search(node.getRightChild(), data);        }    }}

可以看到，在二叉排序树中查找是十分简单的，但是这依赖于每次插入、删除元素时对整个 排序树 结构的维护。

2.插入

二叉树中的插入，主要分两步：查找、插入：

• 先查找有没有整个元素，有的话就不用插入了，直接返回；
• 没有就插入到之前查到（对比）好的合适的位置。

插入时除了设置数据，还需要跟父节点绑定，让父节点意识到有你这个孩子：比父节点小的就是左孩子，大的就是右孩子。

代码实现：

/** * 插入到整个树中 * * @param data */public void insert(int data) {    if (mRoot == null) {     //如果当前是空树，新建一个        mRoot = new BinaryTreeNode();        mRoot.setData(data);        return;    }    searchAndInsert(null, mRoot, data);     //根节点的父亲为 null}/** * 两步走：查找、插入 * * @param parent 要绑定的父节点 * @param node   当前比较节点 * @param data   数据 */private BinaryTreeNode searchAndInsert(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {    if (node == null) {  //当前比较节点为 空，说明之前没有这个数据，直接新建、插入        node = new BinaryTreeNode();        node.setData(data);        if (parent != null) {    //父节点不为空，绑定关系            if (data < parent.getData()) {                parent.setLeftChild(node);            } else {                parent.setRightChild(node);            }        }        return node;    }    //对比的节点不为空    if (node.getData() == data) {    //已经有了，不用插入了        return node;    } else if (data < node.getData()) {   //比节点小，从左子树里查找、插入        return searchAndInsert(node, node.getLeftChild(), data);    } else {        return searchAndInsert(node, node.getRightChild(), data);    }}

3.删除 *

插入操作和查找比较类似，而删除则相对复杂一点，需要根据删除节点的情况分类来对待：

• 如果要删除的节点正好是叶子节点，直接删除就 Ok 了；
• 如果要删除的节点还有子节点，就需要建立父节点和子节点的关系： 
  
  • 如果只有左孩子或者右孩子，直接把这个孩子上移放到要删除的位置就好了；
  • 如果有两个孩子，就需要选一个合适的孩子节点作为新的根节点，该节点称为 继承节点。

新节点要求要比所有左子树大，比所有右子树小，怎么选择呢？

**要比所有左子树的值大、右子树小，就从右子树里找最小的好了； 
同样也可以从左子树里找最大的。**

两种选择方法都可以，本文选用右子树里最小的节点，也就是右子树中最左边的节点。

代码实现：

/** * 在整个树中 查找指定数据节点的父亲节点 * * @param data * @return */public BinaryTreeNode searchParent(int data) {    return searchParent(null, mRoot, data);}/** * 在指定节点下 查找指定数据节点的父亲节点 * * @param parent 当前比较节点的父节点 * @param node   当前比较的节点 * @param data   查找的数据 * @return */public BinaryTreeNode searchParent(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {    if (node == null) { //比较的节点为空返回空        return null;    }    if (node.getData() == data) {    //找到了目标节点，返回父节点        return parent;    } else if (data < node.getData()) {   //数据比当前节点小，左子树中递归查找        return searchParent(node, node.getLeftChild(), data);    } else {        return searchParent(node, node.getRightChild(), data);    }}/** * 删除指定数据的节点 * * @param data */public void delete(int data) {    if (mRoot == null || mRoot.getData() == data) {  //根节点为空或者要删除的就是根节点，直接删掉        mRoot = null;        return;    }    //在删除之前需要找到它的父亲    BinaryTreeNode parent = searchParent(data);    if (parent == null) {        //如果父节点为空，说明这个树是空树，没法删        return;    }    //接下来该找要删除的节点了    BinaryTreeNode deleteNode = search(parent, data);    if (deleteNode == null) {    //树中找不到要删除的节点        return;    }    //删除节点有 4 种情况    //1.左右子树都为空，说明是叶子节点，直接删除    if (deleteNode.getLeftChild() == null && deleteNode.getRightChild() == null) {        //删除节点        deleteNode = null;        //重置父节点的孩子状态，告诉他你以后没有这个儿子了        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {            parent.setLeftChild(null);        } else {            parent.setRightChild(null);        }        return;    } else if (deleteNode.getLeftChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {        //2.要删除的节点只有左子树，左子树要继承位置        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {            parent.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());        } else {            parent.setRightChild(deleteNode.getLeftChild());        }        deleteNode = null;        return;    } else if (deleteNode.getRightChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {        //3.要删除的节点只有右子树，右子树要继承位置        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {            parent.setLeftChild(deleteNode.getRightChild());        } else {            parent.setRightChild(deleteNode.getRightChild());        }        deleteNode = null;    } else {        //4.要删除的节点儿女双全，既有左子树又有右子树，需要选一个合适的节点继承，这里使用右子树中最左节点        BinaryTreeNode copyOfDeleteNode = deleteNode;   //要删除节点的副本，指向继承节点的父节点        BinaryTreeNode heresNode = deleteNode.getRightChild(); //要继承位置的节点，初始为要删除节点的右子树的树根        //右子树没有左孩子了，他就是最小的，直接上位        if (heresNode.getLeftChild() == null) {            //上位后，兄弟变成了孩子            heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());        } else {            //右子树有左孩子，循环找到最左的，即最小的            while (heresNode.getLeftChild() != null) {                copyOfDeleteNode = heresNode;       //copyOfDeleteNode 指向继承节点的父节点                heresNode = heresNode.getLeftChild();            }            //找到了继承节点，继承节点的右子树（如果有的话）要上移一位            copyOfDeleteNode.setLeftChild(heresNode.getRightChild());            //继承节点先继承家业，把自己的左右孩子变成要删除节点的孩子            heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());            heresNode.setRightChild(deleteNode.getRightChild());        }        //最后就是确认位置，让要删除节点的父节点认识新儿子        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {            parent.setLeftChild(heresNode);        } else {            parent.setRightChild(heresNode);        }    }}

运行代码测试

可以看到，二叉排序树的查找、添加较简单，删除逻辑比较多，我们以下图为例：

测试代码：

@Testpublic void delete() throws Exception {    //乱序插入到二叉排序树中    BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree(null);    binarySearchTree.insert(8);    binarySearchTree.insert(3);    binarySearchTree.insert(1);    binarySearchTree.insert(6);    binarySearchTree.insert(4);    binarySearchTree.insert(7);    binarySearchTree.insert(10);    binarySearchTree.insert(13);    binarySearchTree.insert(14);    //中序遍历    binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());    System.out.println("");    //查找某个数据    System.out.println(binarySearchTree.search(10).getData());    //删除某个数据对应的元素    binarySearchTree.delete(6);    //中序遍历删除后的二叉排序树    binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());}

运行结果：

一道面试题

输入一棵二元查找树，将该二元查找树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建任何新的结点，只调整指针的指向。 比如将二元查找树：

                                        10                                      /    \                                    6       14                                  /  \     /　 \                               4     8  12 　  16

转换成双向链表后为：4=6=8=10=12=14=16

解析： 
这题据说是微软的面试题，乍看起来貌似很麻烦，又是二叉排序树又是双向链表的，其实考察的都是很基础的东西，明眼人一看就发现只要将这棵树中序遍历后就是将二叉树节点排序（不然它为啥叫二叉排序树呢…），那么我们只要将这棵树中序遍历，遍历到一个节点就将该节点的左指针指向上一个遍历的节点，并将上一个遍历的节点的右指针指向现在正在遍历的节点，那么当我们遍历完整棵树后，我们的双向链表也改好啦！这样既不用添加多余节点，也不用添加多余的指针变量。

总结

　　二叉排序树的性能取决于二叉树的层数：

• 最好的情况是 O(logn)，存在于完全二叉排序树情况下，其访问性能近似于折半查找；
• 最差时候会是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序树就是一个链表，这种情况下，需要遍历全部元素才行（见下图 b）。