先验概率与后验概率、贝叶斯区别与联系

先验概率和后验概率
教科书上的解释总是太绕了。其实举个例子大家就明白这两个东西了。
假设我们出门堵车的可能因素有两个（就是假设而已，别当真）：车辆太多和交通事故。
堵车的概率就是先验概率 。
那么如果我们出门之前我们听到新闻说今天路上出了个交通事故，那么我们想算一下堵车的概率，这个就叫做条件概率 。也就是P(堵车|交通事故)。这是有因求果。
如果我们已经出了门，然后遇到了堵车，那么我们想算一下堵车时由交通事故引起的概率有多大，
那这个就叫做后验概率 （也是条件概率，但是通常习惯这么说） 。也就是P(交通事故|堵车)。这是有果求因。
 
下面的定义摘自百度百科：
先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.
后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".
 
那么这两个概念有什么用呢？
 
最大似然估计
我们来看一个例子。
有一天，有个病人到医院看病。他告诉医生说自己头痛，然后医生根据自己的经验判断出他是感冒了，然后给他开了些药回去吃。
 
有人肯定要问了，这个例子看起来跟我们要讲的最大似然估计有啥关系啊。
关系可大了，事实上医生在不知不觉中就用到了最大似然估计（虽然有点牵强，但大家就勉为其难地接受吧^_^）。
 
怎么说呢？
大家知道，头痛的原因有很多种啊，比如感冒，中风，脑溢血...（脑残>_<这个我可不知道会不会头痛，还有那些看到难题就头痛的病人也不在讨论范围啊！）。
那么医生凭什么说那个病人就是感冒呢？哦，医生说这是我从医多年的经验啊。
 
咱们从概率的角度来研究一下这个问题。
其实医生的大脑是这么工作的，
他计算了一下
P(感冒|头痛)（头痛由感冒引起的概率，下面类似）
P(中风|头痛)
P(脑溢血|头痛)
...
然后这个计算机大脑发现，P(感冒|头痛)是最大的，因此就认为呢，病人是感冒了。看到了吗？这个就叫最大似然估计（Maximum likelihood estimation，MLE） 。
咱们再思考一下，P(感冒|头痛)，P(中风|头痛)，P(脑溢血|头痛)是先验概率还是后验概率呢？
没错，就是后验概率。看到了吧，后验概率可以用来看病（只要你算得出来，呵呵）。
 
事实上，后验概率起了这样一个用途，根据一些发生的事实（通常是坏的结果），分析结果产生的最可能的原因，然后才能有针对性地去解决问题。
 
那么先验概率有啥用呢？
我们来思考一下，P(脑残|头痛)是怎么算的。
 
P(脑残|头痛)=头痛的人中脑残的人数/头痛的人数
 
头痛的样本倒好找，但是头痛的人中脑残的人数就不好调查了吧。如果你去问一个头痛的人你是不是脑残了，我估计那人会把你拍飞吧。
 
接下来先验概率就派上用场了。
 
根据贝叶斯公式 ，
P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)
 
我们可以知道
 
P(脑残|头痛)=P(头痛|脑残)P(脑残)/P(头痛)
 
注意，(头痛|脑残)是先验概率，那么利用贝叶斯公式我们就可以利用先验概率把后验概率算出来了。
 
P(头痛|脑残)=脑残的人中头痛的人数/脑残的人数
 
这样只需要我们去问脑残的人你头痛吗，明显很安全了。
（你说脑残的人数怎么来的啊，那我们就假设我们手上有一份传说中的脑残名单吧。那份同学不要吵，我没说你在名单上啊。
再说调查脑残人数的话咱就没必要抓着一个头痛的人问了。起码问一个心情好的人是否脑残比问一个头痛的人安全得多）
 
我承认上面的例子很牵强，不过主要是为了表达一个意思。后验概率在实际中一般是很难直接计算出来的，相反先验概率就容易多了。因此一般会利用先验概率来计算后验概率。
似然函数与最大似然估计
下面给出似然函数跟最大似然估计的定义。
 
我们假设f是一个概率密度函数，那么
x/mapsto f(x/mid/theta), /!
是一个条件概率密度函数（θ 是固定的）
 
而反过来，
/theta/mapsto f(x/mid/theta), /!
叫做似然函数 （x是固定的）。
 
一般把似然函数写成
L(/theta /mid x)=f(x/mid/theta), /!
θ是因变量。
 
而最大似然估计 就是求在θ的定义域中，当似然函数取得最大值时θ的大小。
意思就是呢，当后验概率最大时θ的大小。也就是说要求最有可能的原因。
由于对数函数不会改变大小关系，有时候会将似然函数求一下对数，方便计算。
 
例子：
我们假设有三种硬币，他们扔到正面的概率分别是1/3，1/2，2/3。我们手上有一个硬币，但是我们并不知道这是哪一种。因此我们做了一下实验，我们扔了80次，有49次正面，31次背面。那么这个硬币最可能是哪种呢？我们动手来算一下。这里θ的定义域是{1/3，1/2，2/3}
/begin{align}/Pr(/mathrm{H} = 49 /mid p=1/3) & = /binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} /approx 0.000 //[6pt]/Pr(/mathrm{H} = 49 /mid p=1/2) & = /binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} /approx 0.012 //[6pt]/Pr(/mathrm{H} = 49 /mid p=2/3) & = /binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} /approx 0.054./end{align}


当p=2/3时，似然函数的值最大，因此呢，这个硬币很可能是2/3。