金融工程---OLMAR和RMR的思路简介

导语：

先说OLMAR，然后再说RMR，这两篇论文所使用的得到最后的资产配置的手段差不多，但是在预测未来价比的时候，用的手段有些差别。

两种类型的MA

SMA(Simple Moving Average)

这种移动平均价格简单直白的翻译过来就是“简单移动平均”，它的计算方式是：

SMAt(w)=1w∑i=t−w+1tpi

意思就是求最近w天的算术平均。简单易懂但是他的缺陷是在于它只用到了最近w天的。

所以，自然有另外一种移动平均线叫做：

EMA(Exponential Moving Average)

直接翻译过来叫做“指数移动平均”，为啥这样叫呢，可能是因为它的计算方式是这样的：

EMAt(α)=αpt+(1−α)EMAt−1(α)

=αpt+(1−α)αpt−1+(1−α)2αpt−2+⋅⋅⋅+(1−α)t−1p1

这样的手段在《证券技术分析》这本书中好像被称为是什么平滑。emmm大概就是时间距离现在越近，就越重要，越远就越不重要，然后参数α是用来调整这个相对重要程度的。我们可以看到越过去，(1−α)的次数也就越高，所以这大概就就是为什么这个被称为在”指数移动平均“吧

Moving Average Reversion

再讲MAR之前我们先理解一下AR，也就是均值回归，它的思想很简单，就是认为，如果一个本来表现很好的股票，突然最近表现得非常差，那么这只股票在未来的几天就会进行一些调整，即价格有可能会回升。

那么MAR也是如此，只不过跟绝对的均值比较换成了与移动平均价格进行对比，在本文中提出了两种计算MAR的方式，分别对应我呢之前所说的SMA和EMA

MAR-1

x~t+1(w)=SMAt(w)pt=1w(ptpt+pt−1pt+⋅⋅⋅+pt−w+1pt)

在说这个公式的思想之前我们先来解释一下符号吧，x~t+1表示预测的t+1的价比，pt表示第t天的价格，SMAt(w)表示在时间窗口选为w时，第t天的简单移动平均价格。
然后我们很容易看出来，当公式右边的比值>1时，也就是第t天的价格较最近w天的SMA有所下降的话，那么最后预测出来的价比该公式就认为它会>1（基于我们刚才所说的均值回归思想）

上面说的是用SMA的，接下来我们来看看用EMA的：

MAR-2

当然同样是使用

x~t+1=EMAt(α)pt

可以化简为:

x~t+1=α+(1−α)x~txt

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事实上MAR-1和MAR-2这两个公式本身已经有了对未来进行预测的功能，但是本文并不满足于此，为了得到更好的结果，他们还往其中加入了一种学习算法—Passive Aggressive

原文中是这样描述的：

基于这两种MAR的计算方法，OLMAR进一步的引用了一种有效在线学习的思想，Passive Aggressive learning，用它来充分发挥出均值回归的作用。通常是哟弄俩分类，PA将被动保存以前的解如果分类是正确的话，如果不正确，PA将生成一个新的解。在我们量化OLMAR最优化问题之后，我们再来设计算法来解决它。

那我们来看看什么是PA学习吧，其实就是下面的更新策略而已：

bt+1=argmin12||b−bt||2，s.t.bx~t+1≥ϵ

其中ϵ是一个阈值。这个东西在更新的时候时候是按照公式：

bt+1=bt+λt+1(x~t+1−x¯t+1)

其中x¯t+1=1mx~t+1，用其来表示预测的市场的平均收益率
然后λt+1=max{0,ϵ−bt⋅x~t+1||x~t+1−x¯t+1||}，这是一个更新的策略，即如果原有的bt已经足够好（使得bt⋅x~t+1≥ϵ）的话，那我们新的bt+1就继续沿用我们的bt就好了，只有在原有资产组合无法满足我们的阈值ϵ的时候，我们才会考虑以

ϵ−bt⋅x~t+1||x~t+1−x¯t+1||

这样的步长去生成一个新的解来满足我们的阈值。

emmm所以现在这个投资组合的更新策略应该还算清晰吧~

首先使用MAR-1或者MAR-2对未来的价比做出预判
接着我们使用PA学习策略更新我们的投资组合，即设定一个阈值ϵ，当原有投资组合与今天预测的价比的乘积能够超过这个阈值的时候，我们就认为保留原有的投资组合不变，如果不能够超过这个阈值，我们就在原有的基础上进行修改(使用PA)，生成一个新的资产组合，使得新的资产组合与价比的乘积可以超过这个阈值

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RMR

为什么突然扯到RMR这个更新策略呢，因为OLMAR和RMR的想法确实没有太大区别， 他们最核心的不同是在于他们得到x~的方式，还记得在OLMAR这个策略中我们预测x~t+1是使用了MAR−1和MAR−2这两种方式来预测价比，而在RMR中，我们则是使用了一个叫做μ=L1median的数值来进行预测，μ的表达式是：

μ=argmin∑i=0k−1||pt−i−μ||

这个公式翻译成中文就是，找到一个价格向量μ，使得这个价格向量到从今天到前k−1天的所有价格向量的欧氏距离最短（= =有点饶），大概就是找到一个价格向量能够代表近k天的价格。然后用这个我们找到这个μ比上我们今天的pt，即可得到x~t+1

这是μ的数学定义，但是我们在使用计算机求解μ的数值解的时候用的是论文中所称的一种T方法，这个比较复杂我就不详细说明了。