平衡二叉树

一、概念

平衡二叉树：

平衡二叉树也是一种二叉排序树，满足：每一个结点的左子树和右子树的高度差不大于1

BF：平衡因子

二叉树结点的左子树深度减去右子树深度的值。若为负，说明左子树深度低于右子树深度；若为正，说明左子树深度高于右子树深度。根据平衡二叉树定义可知，平衡二叉树的平衡因子取值只有三种情况：-1 0 1

【归纳以上，可知】

满足平衡二叉树的两个条件：1）必须是二叉排序树；2）平衡因子只可能为 -1 0 1

最小不平衡树

以距离插入结点最近，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的二叉子树，称为最小不平衡树

平衡二叉树又称AVL树

二、算法实现原理：

在构建平衡二叉树的过程中，判定插入结点是否破坏了平衡性，若是，则找到最小不平衡树，在不破坏二叉排序

树的前提下，调整最小不平衡树结点间的连接关系，进行相应的左旋转操作和右旋转操作，使之成为平衡二叉树

【关于旋转】

1）当最小不平衡树的根节点的BF值为正，且它的左孩子的BF值也为正，则进行一次右旋转操作（顺时针旋转）；

2）当最小不平衡树的根节点的BF值为负，且它的右孩子的BF值也为负，则进行一次左旋转操作（逆时针旋转）；

简单的左、右旋转如下图所示（后面算法里的单旋情况可参考下图理解，其中F为插入结点）：

3）当最小不平衡树的根节点的BF值为正，且它的左孩子的BF值为负，则先以它的左孩子为根进行左旋转，把左孩子的BF值的正负性调整为与它根节点正负性一致后，再以根节点为根进行右旋转；

4）当最小不平衡树的根节点的BF值为负，且它的右孩子的BF值为正，则先以它的右孩子为根进行右旋转，把右孩子的BF值的正负性调整为与它根节点正负性一致后，再以根节点为根进行左旋转。

对应算法里的双旋情况，结合3）4），可参考下图理解：

下面的代码分为五个模块：

左旋转、右旋转、左平衡旋转、右平衡旋转、构建平衡二叉树（插入）

考虑到【关于旋转】里的3）和4）情况，对应到排序二叉树的左支和右支处理方式不同，所以将左平衡旋转和右

平衡旋转分别写了功能模块，方便最终平衡二叉树的构建

三、平衡二叉树应用场合

如果需要查找的集合本身没有顺序，且在频繁查找过程中同时也需要经常地加入或者删除某些元素，则需要构建

一棵二叉排序树，但是不平衡的二叉排序树的查找是非常低效的，因此在构建二叉排序树时，就让它是一棵平衡二叉

树

平衡二叉树的查找时间复杂度为O(logn)，插入和删除时间复杂度为O(logn)

四、代码实现（代码理解可参考上面的三个图）

本代码以下图生成的平衡二叉树作为测试例：

代码如下：

/*******************************************************************************************【平衡二叉树】平衡二叉树的查找时间复杂度为O(logn)，插入和删除时间复杂度为O(logn)Author:tmwdate:2017-10-28********************************************************************************************/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <stdbool.h>/***平衡二叉树结点结构体定义****/typedef struct Balance_BinTreeNode{    int key;    int bf;    struct Balance_BinTreeNode *lchild;    struct Balance_BinTreeNode *rchild;}B_BinTreeNode,*BiTree;/***左旋转操作***///以指针p指向的结点为根，对其进行左旋转操作，旋转完后，*p指向新的根结点void L_rotate( BiTree *p ){    BiTree R;    R = (*p)->rchild;//R为*p所指向结点的右孩子    (*p)->rchild = R->lchild;    R->lchild = (*p);    *p = R; //*p指向新的根节点}/***右旋转操作***///以指针p指向的结点为根，对其进行右旋转操作，旋转完后，*p指向新的根结点void R_rotate( BiTree *p ){    BiTree L;    L = (*p)->lchild;//R为*p所指向结点的左孩子    (*p)->lchild = L->rchild;    L->rchild = (*p);    *p = L;//*p指向新的根节点}/***左支平衡旋转操作***///当新插入的结点插在了原平衡二叉树的左支后，打破了原平衡，形成了最小不平衡二叉树//此时的代码需要对上面所述的【关于旋转】的1）和3）进行实现#define LH 1  //左支高#define EN 0  //等高#define RH -1 //右支高void Left_Part_Balance( BiTree *T )//*T指向最小不平衡树的根节点{    BiTree L;    BiTree Lr;    L = (*T)->lchild; //L为*T左孩子的根节点    Lr = L->lchild;    switch( L->bf ) //检查看新结点插在了L的左孩子还是右孩子    {        case LH://此时新结点插在了L的左孩子上，属于【关于旋转】的1），即最小不平衡树的根节点的BF值为正，且它的左孩子的BF值也为正        {            //进行一次右旋转操作即可            L->bf = (*T)->bf = EN;//先更新bf值            R_rotate(T);            break;        }        case RH://此时新结点插在了L的右孩子上，属于【关于旋转】的3），即最小不平衡树的根节点的BF值为正，且它的左孩子的BF值为负            //判断是插入L右孩子的左子树还是右子树---虽然都要进行双旋处理，但分开判定是因为双旋后，*T和L的bf有所不同            switch( Lr->bf )            {                case LH://新结点插在了L右孩子的左子树上,更新特定值                        (*T)->bf = RH;                        L->bf = EN;                        break;                case RH://新结点插在了L右孩子的右子树上，更新特定值                        (*T)->bf = EN;                        L->bf = LH;                        break;//                case EN://                        (*T)->bf = L->bf = EN;//                        break;            }            Lr->bf = EN;            L_rotate( &((*T)->lchild) );//先左旋的目的是让(*T)->bf与L->bf符号保持一致            R_rotate(T);    }}//分左支平衡旋转操作和右支平衡旋转操作处理是因为 左平衡处理的bf>0而右平衡处理的bf<0，对应当做双旋处理时，应//先右旋再左旋，与左平衡处理刚好相反，因此需分成两个函数处理/***右支平衡旋转操作***///当新插入的结点插在了原平衡二叉树的右支后，打破了原平衡，形成了最小不平衡二叉树//此时的代码需要对上面所述的【关于旋转】的2）和4）进行实现void Right_Part_Balance( BiTree *T )//*T指向最小不平衡树的根节点{    BiTree R;    BiTree Rl;    R = (*T)->rchild;    Rl = R->lchild;    switch( R->bf )    {        case RH://说明新结点插入在*T右孩子根节点的右半支---只需要进行单左旋操作即可            (*T)->bf = R->bf = EN;            L_rotate(T);            break;        case LH://说明新结点插入在*T右孩子根节点的左半支---需要进行双旋操作            switch( Rl->bf )            {                case LH://新结点插入在R左孩子根节点的左半支,更新特定值                        (*T)->bf = EN;                        R->bf = RH;                        break;                case RH://新结点插入在R左孩子根节点的右半支,更新特定值                        (*T)->bf = RH;                        R->bf = EN;                        break;//                case EN://                        (*T)->bf = R->bf = EN;            }            Rl->bf = EN;            R_rotate( &((*T)->rchild) );//先右旋的目的是让(*T)->bf与L->bf符号保持一致            L_rotate(T);    }}/***AVL树的创建***///采用递归的方式//*T指向一棵平衡二叉树（或为空或实平衡）//当树中存在关键字与待插入元素e相同的结点，则返回插入失败false//插入e时，若导致平衡二插树不平衡，则进行相应的左支平衡或右支平衡操作//布尔变量*taller跟踪新树左右是否长高bool Insert_AVL_Tree( BiTree *T , int e , bool *taller ){    if( !*T )//当为空树时插进根节点；当为找到合适位置时，申请内存插进原平衡二叉树    {        *T = (BiTree)malloc(sizeof(B_BinTreeNode));        (*T)->bf = EN;        (*T)->key = e;        (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;        *taller = true;    }    else //没找到合适的插入位置时    {        if( e == (*T)->key )//已存在关键字为e的结点，则返回错误        {            *taller = false;            return false;        }        if( e < (*T)->key ) //e比当前结点关键字小，则进入左半支        {            if( !Insert_AVL_Tree( &(*T)->lchild , e , taller ) )//左支中存在关键字为e的结点，则返回false                return false;            if( *taller ) //e插进原平衡二叉树了，接下来判断是否造成不平衡            {                switch( (*T)->bf )//检查原平衡度                {                    case LH://原左支高，现在结点加入左支，需进行左支平衡操作                            Left_Part_Balance(T);                            *taller = false;//*taller值复位                            break;                    case EN://原本平衡，现在结点加入左支，无需旋转，只不过树增高了                            (*T)->bf = LH;                            *taller = true;                            break;                    case RH://原右支高，现在结点加入左支，现左右等高                            (*T)->bf = EN;                            *taller = false;                            break;                }            }        }        else//e比当前结点关键字大，则进入右半支        {            if( !Insert_AVL_Tree( &(*T)->rchild , e , taller ) )//右支中存在关键字为e的结点，则返回false                    return false;            if( *taller )            {                switch( (*T)->bf )//检查原平衡度                {                    case LH://原左支高，插入右支，现平衡，无需旋转，更新bf,*taller值即可                            (*T)->bf = EN;                            *taller = false;                            break;                    case EN://原平衡，插入右支，无需旋转，更新bf,*taller值即可                            (*T)->bf = RH;                            *taller = true;                            break;                    case RH://原右支高，插入右支，现需做右支平衡操作，平衡后，更新bf,*taller                            *taller = false;                            Right_Part_Balance(T);//在右支平衡操作和左支平衡操作里，已经对(*T)->bf值做了更新，因此这里不重复更新了                            break;                }            }        }    }    return true;}/***AVL树的中序打印检查***/void Print_In_order( BiTree *T ){    if( !*T )        return;    else    {        Print_In_order(&(*T)->lchild);        printf("%d ",(*T)->key);        Print_In_order(&(*T)->rchild);    }}int main(){    int len,i;    bool res;    int *array;    BiTree T=NULL;//T初始化为空    printf("请输入待构建平衡二叉树的数组长度：\n");    scanf("%d",&len);    array = (int*)malloc(len*sizeof(int));    printf("请输入数组元素(下面开始构建平衡二叉树，如果构建成功，则返回1,否则返回0\n)：");    for( i = 0 ; i < len ; i++ )    {        scanf("%d",&array[i]);        res = Insert_AVL_Tree(&T,array[i],&res);        printf(" %d 插入平衡二叉树状态为：%d\n",array[i],res);    }    printf("平衡二叉树中序打印结果为：");    Print_In_order(&T);    return 0;}

代码运行结果：