LeetCode #714 Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee

题目

Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.

You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)

Return the maximum profit you can make.

Example 1:

Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2Output: 8Explanation: The maximum profit can be achieved by:Buying at prices[0] = 1Selling at prices[3] = 8Buying at prices[4] = 4Selling at prices[5] = 9The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

Note:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

解题思路

采用动态规划的方法，一开始比较容易想到的思路是设置一个收益数组 pro ，令 pro[i] 表示第 i 天的最大收益，然后考虑 pro[i] 与 pro[i - 1, i - 2 ... 0] 的关系。在第 i 天，我们只有三个操作：

1. 不买也不卖。此时 pro[i] = pro[i - 1] 。
2. 买。此时 pro[i] = pro[i - 1] - prices[i] 。
3. 卖。此时 pro[i] = pro[i - 1] + prices[i] - fee 。

这样，似乎可以天真地认为一个动态转移方程就出来了：

pro[i]=max{pro[i],  pro[i−1]−prices[i],  pro[i−1]+prices[i]−fee}

然而这个方程根本不可行，因为 pro[i−1]>pro[i−1]−prices[i] 是肯定成立的，也就是说利用上面的动态转移方程将永远也执行不了买股票的操作！

上面的思路行不通，根本原因是“买股票”和“卖股票”这两个操作是无法单独地衡量其收益的，这一次的“卖”操作必须减去上一次的“买”操作才能衡量收益，同理，这一次的“买”操作也必须结合上一次的“卖”操作来衡量收益。因此，我们需要维护两种第 i 天的最大收益：一种是第 i 天执行“买”操作的最大收益 buy_pro[i]，另一种是第 i 天执行“卖”操作的最大收益 sell_pro[i] ，这样，动态转移方程就变成了：

buy_pro[i]=max{buy_pro[i−1],  sell_pro[i−1]−prices[i]}sell_pro[i]=max{sell_pro[i−1],  prices[i]+buy_pro[i−1]−fee}

这里要特别注意 buy_pro[i] 表示的是第 i 天执行“买”操作的最大收益，而不是花费，因此有 sell_pro[i]=max{sell_pro[i−1],  prices[i]+buy_pro[i−1]−fee} 而不是 sell_pro[i]=max{sell_pro[i−1],  prices[i]−buy_pro[i−1]−fee} 。计算到最后时，只需比较 sell_pro 和 buy_pro 的最后一个元素哪个较大，选择最大的收益返回即可。

上述的动态转移方程需要 O(n) 的空间复杂度，但是观察可以发现，第 i 天的操作的收益只与第 i - 1 天的操作收益有关，因此根本不需要维护这样的两个数组，只要使用两个变量 buy_pro 和 sell_pro 即可。

C++代码实现

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {        // 初始化，第一天只能买，不能卖        int buy_profit = -prices[0], sell_profit = 0;        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {            // 如果 buy_profit 被改变，            // 即 buy_profit = sell_profit - prices[i],            // 则 sell_profit 必然不会改变，反之亦然。            // buy_profit 和 sell_profit 之中只有一个能改变，            // 保证了两者之中必有一个是前一天的最大收益值，            // 这是不用维护两个数组，降低空间复杂度的关键！            buy_profit = max(buy_profit, sell_profit - prices[i]);            sell_profit = max(sell_profit, prices[i] + buy_profit - fee);        }        return max(buy_profit, sell_profit);    }};