判断质数的一种高效方法——基于裁剪策略

定义：约数只有1和本身的整数称为质数，或称素数。

常见的判断质数的方法为：判断 2 到 sqrt(n) 中的每个整数是否整除 n。算法复杂度为 O(sqrt(n))。

bool isPrime1(int n) {if (n < 2) return 0;int tmp = sqrt(n);for (int i = 2; i <= tmp; i++)if (n % i == 0) return 0;return 1;}

然而，素数有一个规律：大于等于5的素数分布在6的左右两侧，如5、7；11、13；17、19；......

因为：
大于等于5的数表示为：6x+5，6x+6，6x+7，6x+8，6x+9，6x+10 （x = 0, 1, 2, ...），而 6x+6, 6x+8, 6x+9, 6x+10均是2或3的倍数，即2(3x+3), 2(3x+4), 3(2x+3), 2(3x+5)。因此它们一定是合数，而分布在6两侧的 6x+5, 6x+7 才有可能是素数。

接下来是判断 6x+5 和 6x+7 是否是素数：如果6x+5 或 6x+7 (x = 0, 1, 2, …)是合数，则它是6m+5 或 6m+7 (m = 0, 1, 2, …, x-1)中的某个数的倍数。先证明这个说法为什么是对的，再说有什么用。

证明：假设它是6m+6, 6m+8, 6m+10, 6m+9 某个数的倍数，则它一定是2或3的倍数。因为6m+6, 6m+8, 6m+10是2的倍数，

6m+9是3的倍数。而 6x+5 和 6x+7 都不是2或3的倍数，矛盾，所以，只能是 6m+5 或 6m+7 中的某个数的倍数

用处： 令 i=6m+5(m = 0, 1, 2, ...), i <= sqrt(n), 判断 n 是否能被 i 和 i+2 整除。这样做的实质是 5 到 sqrt(n) 中，每6个数只比较2个（i, i+2）是否能整除 n， 前文的算法是 2 到 sqrt(n) 中，判断每个数是否能整除 n。

综上，判断n是否是素数：

(1) 判断 n 是否位于 6 的两侧，是则进行下一步，否则不是素数；

(2) 令 i=6m+5(m = 0, 1, 2, ...), i <= sqrt(n), 判断 n 是否能被 i 和 i+2 整除，是则不是素数，否则是素数。

代码如下：

bool isPrime2(int n) {if (n == 2 || n == 3) return 1;// 第(1)步：筛选出6x+5, 6x+7.(x = 0, 1, 2, ...)int tmp = n % 6;if (n < 5 || (tmp != 1 && tmp != 5)) return 0;// 第(2)步：判断n(== 6x+5 或 6x+7)是否是质数//令 i=6m+5(m = 0, 1, 2, ...), i <= sqrt(n), 判断n是否能被i和i+2整除int sqrt_n = sqrt(n);for (int i = 5; i <= sqrt_n; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0;}return 1;}       

       与原算法进行比较，该算法的时间复杂度是O(sqrt(n)/3)。

       通过实际例子与原算法进行比较：计算10 000 000 以内的素数个数。

       代码如下：

#include <iostream>#include <cmath>#include <ctime>using namespace std;bool isPrime1(int n) {if (n < 2) return 0;int tmp = sqrt(n);for (int i = 2; i <= tmp; i++)if (n % i == 0) return 0;return 1;}bool isPrime2(int n) {if (n == 2 || n == 3) return 1;// 第(1)步：筛选出6x+5, 6x+7.(x = 0, 1, 2, ...)int tmp = n % 6;if (n < 5 || (tmp != 1 && tmp != 5)) return 0;// 第(2)步：判断n(== 6x+5 或 6x+7)是否是质数//令 i=6m+5(m = 0, 1, 2, ...), i <= sqrt(n), 判断n是否能被i和i+2整除int sqrt_n = sqrt(n);for (int i = 5; i <= sqrt_n; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0;}return 1;}int main() {int Num = 10000000;int cnt1 = 0, cnt2 = 0;int startTime, stopTime;// 方法1startTime = clock();for (int i = 1; i < Num; ++i) if (isPrime1(i)) ++cnt1;stopTime = clock();cout << "素数个数：" << cnt1 << endl;cout << "方法 1 耗时（ms）：" << stopTime - startTime << endl;// 方法2startTime = clock();for (int i = 1; i < Num; ++i)if (isPrime2(i)) ++cnt2;stopTime = clock();cout << "素数个数：" << cnt2 << endl;cout << "方法 2 耗时（ms）：" << stopTime - startTime << endl;return 0;}

结果如下：

本文的算法介绍到这里，如有问题，请指正。

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