答案错误

题目背景

小X比较差，她（她？tan90°）有许多WA掉的题，所以她很难受。小Z决定去安慰她，可是他的提交记录里一道WA都没有（flag），于是他决定篡改一半题的署名，让小X觉得他们的错题相当，这样她会好受一些

题目描述

每道WA了的题都会有一个分数，对于两个人的WA题程度是否相同，小X有这样一个评判方法：

无聊的她想了这样一个神奇的函数

她认为，无论ai取什么值，两组f(x)的和都相等，则这两组题的错误程度很相似

假如有分值为 A={1,4,6,7 } ，B={2,3,5,8} 的两份被篡改完成的WA题，当$a_1=a_2=a_3=1$时，神奇的函数为

$f(x)=x^2+x+1$

那么，$f(1)=3,f(2)=7,f(3)=13......$

显然 $f(1)+f(4)+f(6)+f(7)=124=f(2)+f(3)+f(5)+f(8)$

对于这组系数，此分组方案是合法的，可以证明，$a_i$取任意值，按照以上方案分组都满足条件（两组的$f(x)$和相同），不信可以手动枚举（_hua|ji_）

所以，A={1,4,6,7 } ，B={2,3,5,8}就是一种合法的分组

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数$n$，代表有$2^n$道WA题，分值分别从$1$到$2^n$，$n>=2$ (emmm........满分是inf)

第二行一个整数q，表示有q组询问

最后一行q个整数，询问分值为x的WA题是谁的名字

（因为小X比较菜，所以我们认为分值为1的WA题是属于她的）

输出格式：

一共q行，每行一个字符 ‘$X$’ 或 ‘$Z$’ ，表示分值为x的WA题是谁的署名

输入输出样例

输入样例#1：复制

324 5

输出样例#1：复制

XZ

说明

对于10%的数据，n<=4 , q<=10;

对于40%的数据，n<=20 , q<=5000;

对于100%的数据，n<=60 , q<=1000000;

一道正解比暴力还短的水题

——其实就是等幂和问题

10分做法

暴力枚举每个值在A组还是B组，因为ai可以取任意值，就随便瞎取，当搜出的方案只有唯一一种时，显然就是答案，时间复杂度O(n*2^(2^n))

其实这个时候已经可以发现分组有一些神奇的地方，再多想一下就是40分了

 

40分做法

根据暴力，我们有：

n=2时，A={1,4} , B={2,3};

n=3时，A={1,4,6,7} , B={2,3,5,8};

n=4时，A={1,4,6,7,10,11,13,16} , B={2,3,5,8,9,12,14,15}

............

可以发现，第n次的分组，在第n+1次时并没有改变，而新加入的数：

n=3时，新加入A组的数 6=2+2²，7=3+2²，2,3属于B组

新加入B组的数 5=1+2²，8=4+2²，1,4属于A组

n=4时，新加入A组的数 10=2+2³，11=3+2³，13=5+2³，16=8+2³，2,3,5,8属于B组

新加入B组的数 9=1+2³，12=4+2³，14=6+2³，15=7+2³，1,4,6,7 属于A组

不妨大胆猜测，第n次新加入的数，就是另一组中的所有数加上2^n-1，递推得出所有数的分组，时间复杂度O(2^n)，其实想到40分100也就出来了

 

100分做法

用数学归纳法证明刚刚的结论：

对于1 ~ 2ⁿ( n∈N，n>=2 )，1分在A组，2分在B组，并按从小到大排列，若前2^k已分组完成，对于新加入的2^k+1 ~ 2^k+1，若满足,,则对于任意 ，两组和均相等

 

1.当n=2时，显然，(a₁*1+ a₂ ) + (a₁*4 + a₂ ) = (a₁*2 + a₂) + (a₁*3 + a₂ ),

结论成立;

 

2.假设n=k时结论成立，那么对于n=k+1时，

n=k时结论成立，即

而将  和  拆开，会得到两个系数相等

 

的多项式，k次幂的项完全相等，将剩下的记为g(x)

 

因为n=k时结论成立，且g(x)最高次项不超过k-1次幂，即有，故 成立

 

由1.2得，此命题成立

 

 

那么如何快速判断一个数在A组还是B组？

，转化为二进制，显然与 中1的个数是不同奇偶的，而与也被分于两组，这意味着判断x在哪一组，即统计x-1在二进制下1的个数，时间复杂度O(qlogx)

 

可以用lowbit优化，不过加不加都可以过