NOIP普及组2009年 细胞分裂 题解

——作者：岸芷汀兰

一、题目

链接：洛谷原题

题目描述
Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家。现在，他正在为一个细胞实验做准备工作：培养细胞样本。

Hanks 博士手里现在有 N 种细胞，编号从 1~N，一个第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂为Si个同种细胞（Si为正整数）。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自由分裂，进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的所有细胞平均分入 M 个试管，形成 M 份样本，用于实验。Hanks 博士的试管数 M 很大，普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的M 值，但万幸的是，M 总可以表示为 m1的 m2次方，即M=m1^m2,其中 m1，m2均为基本数据类型可以存储的正整数。

注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某个时刻若培养皿中有 4 个细胞，

Hanks 博士可以把它们分入 2 个试管，每试管内 2 个，然后开始实验。但如果培养皿中有 5个细胞，博士就无法将它们均分入 2 个试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始，Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后，总是在得到的细胞“刚好可以平均分入 M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道，选择哪种细胞培养，可以使得实验的开始时间最早。

输入输出格式

输入格式：
第一行有一个正整数 N，代表细胞种数。

第二行有两个正整数 m1，m2，以一个空格隔开，即表示试管的总数 M = m1^m2。

第三行有 N 个正整数，第 i 个数 Si表示第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出格式：
输出文件 cell.out 共一行，为一个整数，表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。

如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数-1。

输入输出样例

输入样例#1：
1
2 1
3
输出样例#1：
-1
输入样例#2：
2
24 1
30 12
输出样例#2：
2
说明

【输入输出说明】

经过 1 秒钟，细胞分裂成 3 个，经过 2 秒钟，细胞分裂成 9 个，……，可以看出无论怎么分裂，细胞的个数都是奇数，因此永远不能分入 2 个试管。

【输入输出样例2 说明】

第 1 种细胞最早在3 秒后才能均分入24 个试管，而第2 种最早在2 秒后就可以均分（每试管144/(241)=6 个）。故实验最早可以在2 秒后开始。

【数据范围】

对于 50%的数据，有m1^m2 ≤ 30000。

对于所有的数据，有1 ≤N≤ 10000，1 ≤m1 ≤ 30000，1 ≤m2 ≤ 10000，1 ≤ Si ≤ 2,000,000,000。

NOIP 2009 普及组 第三题

二、思路

质因数分解。

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先把m1质因数分解，由于m2是m1的指数，根据八年级上册数学有关幂的公式，我们可以将m1的质因数的指数分别乘上m2，即可求出m1^m2的所有质因数。（a数组存储质因数，b数组存储对应质因数的指数）。
接下来看si。首先枚举m1^m2的所有质因数，如果si不能整除其中任何一个，抛弃此si（break;）。接着，算出si含此因数的个数（指数），用m1^m2含此因数的指数除以si含此因数的指数，向上取整（假设这个数为d），取max（d），即可算出第i种细胞至少分裂多少次（假设这个数为t）。取min（t），即为结果（ans）。

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需要加几个特判，具体看代码注释。

三、我的C++源代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#define maxn 10000000using namespace std;int a[maxn], b[maxn], pri[maxn];//a是m1中的质因数，b对应得表示质因数的个数，pri就是在a范围内的质数bool V[maxn];//标记质因数的数组int main(){    int n, m1, m2;    scanf_s("%d%d%d", &n, &m1, &m2);    if (m1 == 1)    {        printf("0");        return 0;    }//坑的数据处理    memset(V, true, sizeof(V));    for (int i = 2; i*i <= m1; i++)//小于平方根，大家都懂        if (V[i])            for (int j = i; i*j <= m1; j++)                V[i*j] = false;    //以上为筛质数的过程    int k = 0;    for (int i = 2; i <= m1; i++)        if (V[i])        {            pri[++k] = i;        }    //以上为求小于等于m1的质数    int x = m1; k = 0;//拷贝一下m1    for (int i = 1; pri[i] * pri[i] <= x; i++)        if (x%pri[i] == 0)        {            k++;            a[k] = pri[i];            while (x%pri[i] == 0)            {                b[k]++;//每个质因数的次数                x /= pri[i];            }            b[k] *= m2;//公式:(x^n)^m=x^(n*m)        }    if (x>1)//分解到最后可能会剩余一个质因子     {        a[++k] = x;        b[k] = m2;    }//分解m1^m2的所有质因数    //a[i]是M1^m2的第i种质因子    //b[i]是m1^m2第i种质因子的个数(对应)    //k是质因数的个数    int ans = 1 << 30;//2^30    for (int i = 1; i <= n; i++){        int si;        scanf_s("%d", &si);        int t = 0;//当前答案，用来和ans作比较。见“if (t<ans)ans = t;”        for (int j = 1; j <= k; j++){//枚举m1^m2的质因数            if (si%a[j]){//如果si和m1^m2不含有相同的质因子，就跳出                 t = 1 << 30;//2^30                break;            }            int p = 0;            while (si%a[j] == 0){                p++;                si /= a[j];            }//以上为求si含这种质因数的个数(p)            //b[j]是m1^m2第j种质因子的个数，p是当前细胞该种质因子的个数(si该种质因数的个数)            int d = b[j] / p;            if (b[j] % p)d++; //向上取整，各位大佬也可以用ceil，不过用这个效率高点            if (d>t)t = d; //更新每个细胞需要分裂的次数        }        if (t<ans)ans = t;//更新答案    }    if (ans == 1 << 30)ans = -1;//处理不行的情况    printf("%d\n", ans);    return 0;}