ACM训练周末总结—10月29日

来源：互联网发布：星际战甲腐蚀投射数据编辑：程序博客网时间：2024/05/29 09:16

这个半周开始做数学专题的题了，直到现在还有两道题就是没调通QAQ。

W题是个大水题，假设有两个数a,b，给出gcd(a,b),lcm(a,b)，求a,b（a要求最小的）。a*b=gcd(a,b)*lcm(a,b)，而a最小就是gcd，所以只要gcd%lcm=0，就输出gcd,lcm就可以。

A题，给出一个数n，找出x,y,z，x^2+y^2=z^2且x,y,z<=n，x,y,z两两之间互素。找出满足条件的组数和n以内没被使用过数的个数。这个题就需要膜拜大佬了，也是这道题给了我许多启发，学习寻找题目突破点。下面是一位大佬的推导过程。http://blog.csdn.net/corncsd/article/details/16879899

http://www.cnblogs.com/zpfbuaa/p/5049407.html另一个证明

首先，因为x,y,z互素，所以x,y不可能都是偶数（偶数平方还是偶数，偶数偶数还是偶数）。假设x,y,都是奇数，x=2a+1,y=2b+1,x^2是奇数，y^2是奇数，则z^2是偶数，z是偶数。因为偶数的平方一定能被4整除，但是z^2=x^2+y^2=4(a² + b² + a + b) + 2 不能被4整除，所以x,y不可能都是奇数。于是x,y只能是一奇一偶，z只能是奇数，设x为奇数，y为偶数。则z+x和z-x都是偶数。设z+x=2*u，z-x=2*v。
z=u+v
x=u-v

因为z和x互素，所以u和v也一定互素（假设u和v不互素，u=w*k1，v=w*k2，z=w*(k1+k2)，x=w*(k1-k2)，z和x不互素，矛盾）。把z和x代入x^2+y^2=z^2得，y^2=4*u*v，也就是(y/2)^2=u*v。由于u和v互素，乘积又是一个平方数，所以u和v都是一个平方数（因为（u,v）=1，u=u*(u,v)=(u^2,uv)=(u^2,(y/2)^2)=(u,y/2)^2，u是平方数，同理v也是平方数）。
设u=a^2，v=b^2，a,b互素并且是一奇一偶（若a,b不互素，则u,v不互素，矛盾。由于u,v互素，则至少其中一个是奇数，又因为y是偶数，所以u*v是偶数，所以u,v一奇一偶，奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，所以a,b也一奇一偶）。
最后就有 z=a^2+b^2，x=a^2-b^2，y=2*a*b （a,b互素，一奇一偶，a>b）。（对于任意勾股数组都有此原理）

从这个题感到浓浓的数学味道，从有限的条件入手，分类讨论，导出公式，完成代码。我还是太嫩了，下次一定独立推出公式。

V题是给出n,k，求n^k的前三位和后三位，后三位简单，就是快速幂取模就行，至于前三位n^k=10^(klog10(n))，算出浮点数log10(k)*n，舍弃小数点前的数（只影响位数10的几次方），然后pow算出剩下的10^x，在乘100就对了。

X题是给出n，找出1到n数中两两之间最大公因数的和。原问题只需要求出来f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+…+gcd(n-1,n)再求和。由于gcd(i,n)一定是n的约数，只需要枚举约数x然后考虑有多少不超过n的数i 满足gcd(i,n)=x。这等价于gcd(i/x,n/x)等于1，也就是phi(n/x)。

在这里再附上欧拉函数模版：

void phi_table()
{
for(int i=2;i<=4000010;i++) phi[i] = 0;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=4000010;i++)
{
if(!phi[i])
{
for(int j=i;j<=4000010;j+=i)
{
if(!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}

快速幂取模（其实保存过了）

//计算a*b % m，将b按二进制分解
LL FaMulti(LL a, LL b)
{
LL res = 0;
while(b)
{
if(b & 1)
{
res += a;
res %= m;
}
a += a;
a %= m;
b >>= 1;
}
return res;
}
// 计算a^b % m，将b按二进制分解
LL FaPow(LL a, LL b)
{
LL res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)
{
res = FaMulti(res, a);
}
a = FaMulti(a, a);
b >>= 1;
}
return res;
}

大数加减乘除去取模

string div(string a,int b)//除
{
string c;
int len=a.length();
int ans=0;
char s;
for(int i=0;i<len;i++)
{
ans=ans*10+a[i]-'0';
s=ans/b+'0';
ans%=b;
c+=s;
}
int pos=0;
while(pos<len && c[pos]=='0') pos++;
if(pos==len) return "0";
return c.substr(pos);
}
int mod(string s,int x)//取模
{
int len=s.length();
int ans=0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
ans=(ans*10+s[i]-'0')%x;
}
return ans;
}
string mul(string a,int b)//乘
{
string c;
char s;
int len=a.length();
int ok=0;
for(int i=len-1;i>=0;i--)
{
int temp=(a[i]-'0')*b+ok;
ok=temp/10;
s=temp%10+'0';
c=s+c;
}
while(ok)
{
s=ok%10+'0';
c=s+c;
ok/=10;
}
return c;
}
string add(string a,string b)//加
{
string c;
int len1=a.length();
int len2=b.length();
int len=max(len1,len2);
for(int i=len1;i<len;i++)
a="0"+a;
for(int i=len2;i<len;i++)
b="0"+b;
int ok=0;
for(int i=len-1;i>=0;i--)
{
char temp=a[i]+b[i]-'0'+ok;
if(temp>'9')
{
ok=1;
temp-=10;
}
else ok=0;
c=temp+c;
}
if(ok) c="1"+c;
return c;
}

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0 0