分布单值概述
来源:互联网 发布:sn ty gm js是什么 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 13:15
1.期望:连续随机变量的加权平均值。如果下列积分有定义的话,即:
\int|x|dF(x) < \infty
定义X的期望(均值,一阶矩)为:
E(X) = \mu = \int{xdF(x)} = \int{xp(x)dx}
对于离散随机变量为:
\sum_x{xp(x)}
期望的性质:
- 线性运算:
math
E(aX+b) = aE(x) + b
- 加法法则, 设
math
E(\sum_ia_ix_i) = \sum_ia_iE(x_i)
- 乘法法则,设
math
E(\prod^N_{i=1}X_i) = \prod^N_{i=1}E(X_i)
2.众数(mode):设随机变量X有密度p(x),且存在
math
x_0 = {arg max} p(x)
则称
期望,中值和众数都被称为位置参数。
- 当随机变量为高斯分布(即正态分布)时,三者相等
3.中值(median):分布的中值可是为分布的中间,即在其上下的概率均为0.5:
Median(X):=x^*:P(X>=x*) = 0.5 = P(X<=x*)
4.分为函数(quantile):随机变量X的CDF为F,CDF的反函数为分位函数(quantile function)定义为(inf代表最小值):
F^-1(\alpha) = inf\{{x:F(x)>=\alpha}\}
其中
中值/中位数:
5.方差(variance):
当
若X有均值
\sigma^2 = V(X) = E(X-\mu)^2 = \int(x-\mu)^2dF(x) = E(x^2) + E(\mu^2) - 2E(x)E(\mu) = E(x^2) - \mu^2
标准差(standard deviation)
\sigma = \sqrt{V(X)}
性质:
-
- 设a,b为常数,
- 如果
6.IQR(Interquantile Range)四分位矩: 25%到75%分位数之间的区间
- 中值比期望更鲁棒
- 四分位矩比方差更鲁棒
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