Uva1639（概率期望+自然对数）

Solution

有两个盒子各有n（n≤2*10^5）个糖，每天随机选一个（概率分别为p，1-p），然后吃一
颗糖。直到有一天，打开盒子一看，没糖了！输入n, p，求此时另一个盒子里糖的个数的数
学期望。

• 很显然，假设是第二个盒子最后有糖.

• 那么可以枚举第二个盒子还剩多少个糖

• 方案就是：C(2∗n−i,n)∗pn+1∗(1−p)n−i

• 但如果直接搞，精度会炸.

• 我们可以运用自然对数的四个性质：

• 四个性质：

  ln(a/b)=ln(a)−ln(b)
  ln(a∗b)=ln(a)+ln(b)
  ln(ab)=ln(a)∗b
  exp(ln(a))=a

• 求解即可.

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#define fo(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define Maxn 200010#define ld long doubleusing namespace std;int n,i,cas;ld p,Log[Maxn];int main(){    fo(i,1,Maxn)        Log[i] = Log[i - 1] + log(i);    while (scanf("%d%Lf",&n,&p)==2)    {        ld ans = 0;        fo (i,1,n)        {            ld c = Log[2 * n - i] - Log[n] - Log[n - i];            ld p1 = log(p) * (n + 1) + log(1.0 - p) * (n - i) + c;            ld p2 = log(p) * (n - i) + log(1.0 - p) * (n + 1) + c;            ans += i * (exp(p1) + exp(p2));        }        printf("Case %d: %Lf\n",++cas,ans);    }}