数据结构—递归小结

为什么数学归纳法能构成一个证明。
对于N=1，改定理成立，这称为基本情况。
使用归纳假设，假设对于任意K，定理成立，如果k成立，那么k+1也会成立。
这里针对一个例子来说一下数学归纳法的使用
 
 
对于求前N项的和，S(N)=S(N-1)+N的递归形式：
public static long s(int n){
    if(n==1)return 1;//基本情况
    else return s(n-1)+n;//推进
}
任何递归必须有1基本情况（递归出口）和2向基本情况的推进两种条件
 
问题一：
不能处理N>=8882 (从书上看的，不知道为什么)，这里思考一个问题，栈溢出的时候N是多少，怎么分析，网上很多地方说道栈的大小其实不固定。如果针对一个32位的系统来说，栈溢出的条件就是最大的栈深*占用的字节数小于等于理论的最大内存数吗，32位内存最大是4G。不知道这么理解对不对。这个地方不太明白，有理解的比较深求指教。

 
分析递归调用的栈空间消耗
32位系统中
4字节返回地址；
4*n字节参数，n位参数个数
12字节寄存器保护器EBP ESI EDI
4*m字节局部变量，m是内部变量个数
一次调用内存大小是1+4*n+12+4*m=4+4+12=20B （针对求N项和的递归函数）

fibonacci数列问题。

三种算法1非递归算法2递归算法3矩阵算法

递归算法的时间复杂度是O（2^N）

递归算法计算有很多的重复项目，F（n）=F（N-1）+F（N-2）,F（N-1）=F（N-2）+F（N-3） 其中F（N-2）被计算了两次，随着N的增大，重复的数量会越来越多。时间复杂度也会越来越大。

时间复杂度考虑的是最坏的情况，因此这里将F（N）写成树的形式，可以看的比较明显，是一颗二叉树，虽然不是满的二叉树，考虑最坏的情况下，利用满二叉树计算时间复杂度，时间复杂度就是计算的次数，计算的次数就是数的节点的个数，2^n-1,n指的是树的深度，也是要求的fib的n的值。可见，时间复杂度是值数级别的o(2^n)

空间复杂度是O（N）

递归最深的那一次所耗费的空间足以容纳它所有递归过程。递归产生的栈侦是要销毁的，所以空间也就释放了，要返回上一层栈侦继续计算+号后面的数，所以它所需要的空间不是一直累加起来的，之后产生的栈侦空间都小于递归最深的那一次所耗费的空间。

递归的深度*每次递归所需的辅助空间的个数 ，所以空间复杂度是：O(N)

fibonacci数列的通项公式

计算a与b的最大公约数 ，这里也是用的第归去求解（求最大公约数在加密解密中有广泛的应用）
辗转相除法，欧几里得算法
public static long gcd(long a,long b){
    if(b==0)return a;
    else
    a-b>b?return gcd(a-b,b):return gcd(b,a-b);
}
执行的流程为 ： gcd(70,25)->gcd(45,25)->(25,20)->(20,5)->(15,5)->(10,5)->(5,5)->(5,0)=5  结果为5

优化：相减与求模在本质上是相等的。求模是一种优化，求模后的值一定小于b

public static long gcd(long a,long b){
    if(b==0)return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

执行流程：gcd(70,25)->gcd(25,20)->(20,5)->(5,0)  结果为5（确实少了一些计算量）