RSA非对称加密算法的原理

RSA非对称加密算法的原理：

p,q为两个大素数，令n=p⋅q ，则φ(n)=(p−1)(q−1)

取正整数e，满足条件(φ(n),e)=1,1<e<φ(n),

则存在整数d为e的逆元，表达式为：

ed≡1(modφ(n))

即存在整数k使得e⋅d=k⋅φ(n)+1

设明文为a，密文为c，加密式为ae≡c(modn)，解密式为cd≡a(modn)根据欧拉定理有：

aφ(p)≡1(modp)

经由如下变换：

⇒aφ(p)⋅kφ(n)φ(p)≡1(modp)※

⇒ak⋅φ(n)+1≡a(modp)

⇒ae⋅d≡a(modp)

⇒cd≡a(modp)

同理可得：

cd≡a(modq)

因为p,q 为素数，所以

cd≡a(modn)

至此，RSA算法的原理就明了了，我的疑问在于，选取密钥e的时候，为什么条件是让(e,φ(n))=1，而不是让e和别的数互素？

问题就处在※这一行，为了保证公式能够推导下去，必须满足条件k⋅xφ(p) 是一个整数，所以x=n 是绝对不行的。我一开始认为，x可以随意选取别的整数，而实际上，确实只要x 是φ(p)的整数倍就没有问题，但是RSA作为一个算法，在方法上要有一套自己的模板。刚好，无论p 是多大，φ(n) 总会是φ(p)的倍数，而且φ(n) 很大，同时给予了密钥很大的选择空间。