[DP] HHHOJ #115. 我们爱数数

其实当时已经几乎想到了，但是没发现答案已经求好了……
大概的思路是，这种至少 K 的问题时，一般不能直接求出答案而要进行一些加加减减。就考虑 DP 求出一些东西。
注意到如果不放在快乐的位置的人，如果要选个位置放下的话必须要 2n 记下状态。规模不能承受。
所以我们干脆让不快乐的随便填，即只考虑填快乐的，剩下的全排列。
这样只需要记前两个位置是否被占，fi,j,s 表示前 i 个人，j 个人，s 表示 i,i+1 位置是否被占，的方案数。暴力枚举 1 和 2 怎么放就能断环成链。
设 gi=(n−i)!∑fn,i,s ,显然这是有重复的，其中恰好有 j 个人开心的方案被记了 (ji) 次。
设恰好 i 个人开学的方案数为 ansi:

gi=ansi+(i+1i)ansi+1+(i+2i)ansi+2...

怎么已知 g 求 ans 呢？注意到 gn=ansn，所以我们倒着搞，每次扣掉后面多出来的项，就能依次知道 ansi 了。
要吸取教训，有时候需要注意一些边界的特殊情况，可能能带来思路。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1005,MOD=1e9+7;int n,m,f[maxn][maxn][5],a[maxn];LL fac[maxn],inv[maxn],fac_inv[maxn],g[maxn],ans;void DP(){    memset(f,0,sizeof(f));     f[2][a[n]+a[1]+a[2]+a[3]][(a[3]<<1)+a[2]]=1;    for(int i=2;i<=n-1;i++)     for(int j=0;j<=i;j++)       for(int k=0;k<=3;k++) if(f[i][j][k]){        (f[i+1][j][k>>1]+=f[i][j][k])%=MOD;        (f[i+1][j+1][2+(k>>1)]+=f[i][j][k])%=MOD;        if(!(k&1)) (f[i+1][j+1][k>>1]+=f[i][j][k])%=MOD;        if(!((k>>1)&1)) (f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][k])%=MOD;      }    int t=((a[1]<<1)+a[n]);    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int k=0;k<=3;k++) if(!(k&t)) (g[i]+=(LL)f[n][i][k]*fac[n-i]%MOD)%=MOD;}void dfs(int step){    if(step>2){ DP(); return; }    if(step==1){        dfs(step+1);        if(!a[n]) a[n]=1, dfs(step+1), a[n]=0;        if(!a[1]) a[1]=1, dfs(step+1), a[1]=0;        if(!a[2]) a[2]=1, dfs(step+1), a[2]=0;    } else{        dfs(step+1);        if(!a[1]) a[1]=1, dfs(step+1), a[1]=0;        if(!a[2]) a[2]=1, dfs(step+1), a[2]=0;              if(!a[3]) a[3]=1, dfs(step+1), a[3]=0;    }}LL C(int n,int m){ return fac[n]*fac_inv[m]%MOD*fac_inv[n-m]%MOD; }int main(){    freopen("hhhoj115.in","r",stdin);    freopen("hhhoj115.out","w",stdout);    fac[0]=1; for(int i=1;i<=1000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;    inv[1]=1; for(int i=2;i<=1000;i++) inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;    fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=1000;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%MOD;    scanf("%d%d",&n,&m);    dfs(1);    //for(int i=n;i>=m;i--) printf("%d\n",g[i]); printf("\n");     for(int i=n-1;i>=1;i--)     for(int j=i+1;j<=n;j++) (g[i]-=g[j]*C(j,i)%MOD)%=MOD;    for(int i=m;i<=n;i++) ans=(ans+g[i])%MOD;    printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);    return 0;}