中心化和标准化

一、中心化（又叫零均值化）和标准化（又叫归一化）概念及目的？

1、在回归问题和一些机器学习算法中，以及训练神经网络的过程中，通常需要对原始数据进行中心化（Zero-centered或者Mean-subtraction（subtraction表示减去））处理和标准化（Standardization或Normalization）处理。

数据标准化（归一化）处理是数据挖掘的一项基础工作，不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，这样的情况会影响到数据分析的结果，为了消除指标之间的量纲影响，需要进行数据标准化处理，以解决数据指标之间的可比性。原始数据经过数据标准化处理后，各指标处于同一数量级，适合进行综合对比评价。

意义：数据中心化和标准化在回归分析中是取消由于量纲不同、自身变异或者数值相差较大所引起的误差。原理：数据标准化：是指数值减去均值，再除以标准差；

数据中心化：是指变量减去它的均值。

目的：通过中心化和标准化处理，得到均值为0，标准差为1的服从标准正态分布的数据。

 

2、（1）中心化（零均值化）后的数据均值为零

（2）z-score 标准化后的数据均值为0，标准差为1（方差也为1）

三、下面解释一下为什么需要使用这些数据预处理步骤。

在一些实际问题中，我们得到的样本数据都是多个维度的，即一个样本是用多个特征来表征的。比如在预测房价的问题中，影响房价的因素有房子面积、卧室数量等，我们得到的样本数据就是这样一些样本点，这里的、又被称为特征。很显然，这些特征的量纲和数值得量级都是不一样的，在预测房价时，如果直接使用原始的数据值，那么他们对房价的影响程度将是不一样的，而通过标准化处理，可以使得不同的特征具有相同的尺度（Scale）。简言之，当原始数据不同维度上的特征的尺度（单位）不一致时，需要标准化步骤对数据进行预处理。

下图中以二维数据为例：左图表示的是原始数据；中间的是中心化后的数据，数据被移动大原点周围；右图将中心化后的数据除以标准差，得到为标准化的数据，可以看出每个维度上的尺度是一致的（红色线段的长度表示尺度）。
其实，在不同的问题中，中心化和标准化有着不同的意义，

·       比如在训练神经网络的过程中，通过将数据标准化，能够加速权重参数的收敛。

·       对数据进行中心化预处理，这样做的目的是要增加基向量的正交性。

四、归一化

两个优点：

1）归一化后加快了梯度下降求最优解的速度；

2）归一化有可能提高精度。

1、 归一化为什么能提高梯度下降法求解最优解的速度？

如下图所示，蓝色的圈圈图代表的是两个特征的等高线。其中左图两个特征X1和X2的区间相差非常大，X1区间是[0,2000]，X2区间是 [1,5]，其所形成的等高线非常尖。当使用梯度下降法寻求最优解时，很有可能走“之字型”路线（垂直等高线走），从而导致需要迭代很多次才能收敛；而右图对两个原始特征进行了归一化，其对应的等高线显得很圆，在梯度下降进行求解时能较快的收敛。因此如果机器学习模型使用梯度下降法求最优解时，归一化往往非常有必要，否则很难收敛甚至不能收敛。

2、归一化有可能提高精度

一些分类器需要计算样本之间的距离（如欧氏距离），例如KNN。如果一个特征值域范围非常大，那么距离计算就主要取决于这个特征，从而与实际情况相悖（比如这时实际情况是值域范围小的特征更重要）。

3、以下是两种常用的归一化方法：

1）min-max标准化（Min-MaxNormalization）

也称为离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果值映射到[0 - 1]之间。转换函数如下：

其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。这种方法有个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。

2）Z-score标准化（0-1标准化）方法

这种方法给予原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1。

转化函数为：

其中为所有样本数据的均值，为所有样本数据的标准差。

 

五、中心化（以PCA为例）
下面两幅图是数据做中心化（centering）前后的对比，可以看到其实就是一个平移的过程，平移后所有数据的中心是（0，0）.

在做PCA的时候，我们需要找出矩阵的特征向量，也就是主成分（PC）。比如说找到的第一个特征向量是a = [1, 2]，a在坐标平面上就是从原点出发到点 （1，2）的一个向量。

如果没有对数据做中心化，那算出来的第一主成分的方向可能就不是一个可以“描述”（或者说“概括”）数据的方向了。还是看图比较清楚。

黑色线就是第一主成分的方向。只有中心化数据之后，计算得到的方向才能比较好的“概括”原来的数据。