Solutions to an Equation LightOJ

题面

题意

Ax + By + C = 0,给出A,B,C和x1,x2,y1,y2,其中x1<=x<=x2且y1<=y<=y2,那么该方程一共有几组整数解

方法

欧扩

一开始先特判a,b中有0的情况
难点之一在于a,b可以为负数,故在进行一系列操作之前先将符号存起来,因为符号不影响数值的绝对值大小,为了更加方便,可以先算出一组解的绝对值,再枚举4种符号匹配方式,找到使等式成立的哪一种情况.
利用欧扩可以求出ax+by=1的一组解,若该方程有解则gcd(a,b)为c的约数,因而我们可以先约去一个gcd(a,b)使a,b互质,然后利用欧扩解出a’x+b’y=1,这时的x,y同时乘上gcd(a,b)即为原方程的解,我定义这组解为x1,y1.
不难发现下述规律(k为任意整数):
x=x1+k*(b/gcd(a,b)).
y=y1+k*(a/gcd(a,b)).
因而可以根据这两个规律求出最大k和最小k,作差加一后即为答案.

注意a,b在解出一组解后要还原符号位.
在解最后的k时,还要根据b/gcd(a,b)和a/gcd(a,b)的正负进行讨论.
同时也应注意是向上取整还是,向下取整.

代码

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define db doubleusing namespace std;ll T,TT,a,b,c,xd,xu,yd,yu,bx,by,g,x,y,fh1[]={1,1,1,-1,-1},fh2[]={1,1,-1,1,-1},m1,m2,n1,n2,f1,f2;ll gcd(ll u,ll v){    while(u!=v&&u&&v)    {        if(u>v) u%=v;        else v%=u;    }    return max(u,v);}ll ny(ll u,ll v){    if(v)    {        ll k=ny(v,u%v);        x-=(u/v)*y;        swap(x,y);        return k;    }    else    {        x=1;        y=0;        return u;    }}int main(){//  freopen("1.txt","r",stdin);//  freopen("2.txt","w",stdout);    ll i,j;    cin>>T;    TT=T;    while(T--)    {        ll ans=0;        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&xd,&xu,&yd,&yu);        c=-c;        printf("Case %lld: ",TT-T);        if(!a&&!b)        {            if(!c) printf("%lld\n",(xu-xd+1)*(yu-yd+1));            else printf("0\n");            continue;        }        if(!a)        {            if(c%b==0&&c/b>=yd&&c/b<=yu) printf("%lld\n",xu-xd+1);            else printf("0\n");            continue;        }        if(!b)        {            if(c%a==0&&c/a>=xd&&c/a<=xu) printf("%lld\n",yu-yd+1);            else printf("0\n");            continue;        }        f1=a/abs(a);a=abs(a);        f2=b/abs(b);b=abs(b);        g=gcd(a,b);        if(abs(c)%g!=0)        {            printf("0\n");            continue;        }        a/=g;        b/=g;        ny(a,b);        a*=f1;        b*=f2;        a*=g;        b*=g;        x*=c/g;        y*=c/g;        for(i=1;i<=4;i++)        {            if(fh1[i]*x*a+fh2[i]*y*b==c)            {                x*=fh1[i];                y*=fh2[i];                break;            }        }//      cout<<a<<' '<<b<<" "<<g<<endl;        bx=b/g;        by=-a/g;//      cout<<x<<" "<<y<<" "<<bx<<" "<<by<<endl;        if(bx>0)        {            m1=(ll)ceil((db)(xd-x)/(db)bx);            m2=(ll)floor((db)(xu-x)/(db)bx);        }        else        {            m1=(ll)ceil((db)(xu-x)/(db)bx);            m2=(ll)floor((db)(xd-x)/(db)bx);        }        if(by>0)        {            n1=(ll)ceil((db)(yd-y)/(db)by);            n2=(ll)floor((db)(yu-y)/(db)by);        }        else        {            n1=(ll)ceil((db)(yu-y)/(db)by);            n2=(ll)floor((db)(yd-y)/(db)by);        }//      cout<<m1<<" "<<m2<<" "<<n1<<" "<<n2<<endl;        printf("%lld\n",max((ll)0,min(m2,n2)-max(m1,n1)+1));    }}