每天一道LeetCode-----找到第k个排列

Permutation Sequence

原题链接Permutation Sequence

给定n和k，求[1,2,3,...,n]这个序列的全排列中第k个排列

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可以调用k次next_permutation获取结果，但是next_permutation内部实现比较慢。
首先考虑能不能确定第k个排列是以哪个数字开头的呢，以[1,2,3,4]的全排列为例，找第14个排列

• 以1开头的排列总共有3!个，原因是第一个位置是1，剩下3个位置可以随便排列，有6个
• 以2开头的排列总共有3!个，原因是第一个位置是2，剩下3个位置可以随便排列，有6个
• 此时已经有12个排列
• 所以剩下的两个排列即第14个排列一定在以3开头的排列中

用这种方式继续缩减数量，以3开头的排列中最小的为[3,1,2,4]，3已经固定，那么就找[1,2,4]的全排列的第2个排列，就是整个排列的第14个排列

• 以1开头的排列共有2!个，原因是第二个位置是1，剩下2个位置可以随便排列，有2个
• 此时已经有两个排列，可以确定结果一定在以[3,1]开头的排列中，即[3,1,2,4]或[3,1,4,2]

继续缩减数量，以[3,1]开头的排列中最下的为[3,1,2,4]，[3,1]已经固定，那么就找[2,4]的全排列的第2个排列，就是[1,2,4]的全排列的第2个排列，也就是整个排列的第14个排列

• 以2开头的排列共有1!个，原因是第三个位置是2，剩下一个位置给4，有1个
• 以4开头的排列共有1!个，原因是第三个位置是4，剩下一个位置给12，有1个
• 此时已经有两个排列，可以确定结果是以4开头的排列，即[4,2]，所以结果为[3,1,4,2]

所以，可以每次确定一个大范围，在大范围的基础上进一步缩小范围，直到最后只有一个数字为止。遍历n遍即可。

假设某次需要找到第k个排列（k从1开始），以第i个位置开头（i从1开始），上述过程可以表示为
要找的排列的开头是所剩数字中的第k / (n-i)!个 （整除）或第k / (n-i)! + 1个（非整除）数字，（从1开始）

原因
上述第一步，序列为[1,2,3,4]，k为14，i为1，(n-i)!为6，k / (n-i)!为2，此时因为要找第14个排列（从1开始），以1,2开头的各占6个，所以在以3开头的排列中找，所以应该是k / (n-i)! + 1（非整除），即第3个数字，从1开始，为3
上述第二步，序列为[1,2,3]，确定以3开头后，k为2，i为2，(n-i)!为2，k / (n-i)!为1，此时因为要找第2个排列，以1开头的就有2个，所以在以1开头的排列中找，所以应该是k / (n-i)! （整除），即第1个数字，从1开始，为1

上面需要根据情况讨论的原因是位置索引都是从1开始的，如果索引从0开始，那么就不会有这么多问题，此时k为14，即要找第13个排列（从0开始）
上述第一步，序列为[1,2,3,4]，k为13，i为1，(n-i)!为6，k / (n-i)!为2，k / (n-i)!为2，即第2个数字（从0开始），为3
上述第二步，序列为[1,2,3]，确定以3开头后，k为1，i为2，(n-i)!为2，k / (n-i)!为0，即第0个数字，为1

代码如下

class Solution {public:    string getPermutation(int n, int k) {        vector<int> factorial(n+1, 1);        for(int i = 2; i <=n; ++i)            factorial[i] = i * factorial[i - 1];        vector<int> nums;        for(int i = 1; i <= n; ++i)            nums.emplace_back(i);        string res("");        for(int i = 1; i <= n; ++i)        {            /* 找开始点 */            int index = k / factorial[n - i];            /* 如果非整除，加一 */            if(k % factorial[n - i] != 0)                ++index;            res += (nums[index - 1] + '0');            nums.erase(nums.begin() + index - 1);            k = k - ((index - 1) * factorial[n - i]);        }        return res;    }};