洛谷 1600 [NOIP2016] 天天爱跑步 树链剖分+桶 （暴力+正解）

题目：
https://www.luogu.org/problemnew/show/1600

记得去年我只写了15分，还打错了freopen……；

部分分很良心；

1~5：

暴力lca，暴力统计;
复杂度 : O (n ^ 2);

6~8：

这一部分分已经出卖了正解；
肯定有许多大牛恍然大悟(当然，没有我这个垃圾)；

我们发现对于每一名观察员v，他观察到的玩家i满足：
1. 从左向右：v - i = w[i]；从右向左 : v + i = w[i] ;
2. 存在从i到v或v后面(前面)的点的路线；

通过移项发现，对于每一个w[i] + i 只与i本身有关，而且这是一个定值。

记点i可以做出贡献的点集为V；

当i作为起点时，将V中符合第2条的点答案++即可；

复杂度 : O( n + m );

9~12

Si = 1的情况；
我们可以发现，当且仅当deep[v]=w[v]时，v点的观察员可以看到玩家；

法一：统计v的子树中有多少终点，终点个数即为v的答案；

法二：树上差分，v被经过的次数就是v的答案；

13~16：

Ti = 1 的情况；

当起点i可以对v做贡献时;
deep[i] = deep[v] + w[v];
当且仅当i在v的子树中;

给每个起点打一个标记,然后统计v的子树中i的个数；

统计i时考虑用差分的思想；
令deep[*i]为访问v的子树之前的深度i的个数，deep[i]为访问完v的子树后的深度i的个数；
则v子树中deep[i]深度的节点个数为deep[i] - deep[*i];

100%数据：

大方向：对于一个节点来说，对他有贡献的结点是一定的，也是确定的；
所以我们只需要统计对于某个节点有贡献的节点数就可以了(说的轻巧)；

考虑如何统计;
ps : 自己先拿出一张纸，画上一棵树，然后标上编号；

因为有上有下，不好直接统计，所以考虑拆路线！！！

将S到T的路线拆成S->lca和lca->T;

D为记录答案的桶；

S->lca:
若对i有贡献：

1.deep[s] - deep[i] = w[i];
移项 ：deep[s] = deep[i] + w[i];
2.满足第2条;
3.在i的子树中;

由于deep[i] + w[i] 是个定值;
所以将 deep[i] + w[i] 映射为可以对i做贡献的值(不准确的定义，但可以这么理解)；
即D[deep[i] + w[i]] 的差值为i的答案（差值的定义详见终点为1的做法） ；

lca->T:
记L为S->T的路线长度;
若对k有贡献:
L - w[k] = deep[T] - deep[k];
移项 ：L - deep[T] = w[k] - deep[k];

同理;
可以将L - deep[T] 映射为可以对k做贡献的值；
需要注意的是需要加一个大数，以防止负数下标；

但如果存在路线的起点可以对v做贡献，但是不满足第2条怎么办？

此时这条路线的起点，lca，终点必然都在v的子树中；

所以可以用vector记以一个点为lca的路线的编号；
在回溯时，将不会对”祖先”做贡献，又存在于D中的点减去；

由于拆路线，如果路线对lca有贡献，那lca会被计算了两次，所以此时
需要将lca的次数减一；

80分暴力

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=600010;int n,m,tot,tim;int fst[MAXN],nxt[MAXN],cdis[MAXN],cnt[MAXN],csum[MAXN];int deep[MAXN],fa[MAXN],top[MAXN],son[MAXN],siz[MAXN];int dfn[MAXN],tmp[MAXN];//起点为1; int D[MAXN],Mark[MAXN];//终点为1； vector<int>V[MAXN],G[MAXN];//一条链;struct hh {int from,to;}ma[MAXN];struct sh {int from,to,lca;}ss[MAXN];void build(int f,int t){    ma[++tot]=(hh){f,t};    nxt[tot]=fst[f];    fst[f]=tot;    return;}void dfs(int x,int f){    siz[x]=1,fa[x]=f;    deep[x]=deep[f]+1;    dfn[++tim]=x;    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==f) continue;        csum[v]=csum[x]+1;        dfs(v,x),siz[x]+=siz[v];        if(!son[x] || siz[son[x]]<siz[v]) son[x]=v;    }    return;}void rdfs(int x,int st){    top[x]=st;    if(!son[x]) return;    rdfs(son[x],st);    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==fa[x] || v==son[x]) continue;        rdfs(v,v);    }    return;}int get_lca(int x,int y){    int fx=top[x],fy=top[y];    while(fx!=fy)    {        if(deep[fx]<deep[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy);        x=fa[fx],fx=top[x];    }    return deep[x]>deep[y]?y:x;}void calc(int x,int y)//n^n;{    int sum=0,ccnt=0,lc=get_lca(x,y);    int l=csum[x]+csum[y]-2*csum[lc];    if(x==lc)//lca->y;    {        if(cdis[y]==l) cnt[y]++;        while(y!=lc)        {            sum++,y=fa[y];            if(cdis[y]==l-sum) cnt[y]++;        }        return;    }    else if(y==lc)//x->lca;    {        if(!cdis[x]) cnt[x]++;        while(x!=lc)        {            sum++,x=fa[x];            if(cdis[x]==sum) cnt[x]++;        }        return;    }        else//x->lca,lca->y;    {        if(!cdis[x]) cnt[x]++;            while(x!=lc)//x->lca        {            x=fa[x],sum++;            if(cdis[x]==sum) cnt[x]++;        }        if(cdis[y]==l) cnt[y]++;        while(y!=lc) //lca->y;        {            y=fa[y],ccnt++;            if(cdis[y]==l-ccnt) cnt[y]++;        }    }    return;}void solve_lian(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(i-cdis[i]>=1)            G[i-cdis[i]].push_back(i);//左->右;        if(i+cdis[i]<=n)            V[i+cdis[i]].push_back(i);//右->左;     }    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int x=ss[i].from,y=ss[i].to;        if(x<y)//左到右;         {            for(int j=0;j<G[x].size();j++)            {                int v=G[x][j];                if(v<=y) cnt[v]++;            }        }        else if(x>y)        {            for(int j=0;j<V[x].size();j++)            {                int v=V[x][j];                if(v>=y) cnt[v]++;            }        }    }    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",cnt[i]);    return;}void solve_sta(){    for(int i=1;i<=m;i++)    {        tmp[ss[i].from]++;        tmp[ss[i].to]++;        tmp[get_lca(ss[i].from,ss[i].to)]-=2;    }    for(int i=n;i>=1;i--)         tmp[fa[dfn[i]]]+=tmp[dfn[i]];//差分记录路径;    tmp[1]=m;//注意;    for(int i=1;i<=n;i++)        if(csum[i]==cdis[i])             cnt[i]+=tmp[i];    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",cnt[i]);    return;}void Dfs(int x,int f){    int co=D[deep[x]+cdis[x]];    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==f) continue;        D[deep[v]]+=Mark[v],Dfs(v,x);        cnt[x]=D[deep[x]+cdis[x]]-co;    }    return;}void solve_end(){    memset(Mark,0,sizeof(Mark));    for(int i=1;i<=m;i++)        Mark[ss[i].from]++;    Dfs(1,0);    for(int i=1;i<=m;i++) if(!cdis[ss[i].from]) cnt[ss[i].from]++;    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",cnt[i]);    return;}void solve(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        build(x,y),build(y,x);    }    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%d",&cdis[i]);    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&ss[i].from,&ss[i].to);    dfs(1,1),rdfs(1,1);   if(n<=1000 && m<=1000)    {        for(int i=1;i<=m;i++)            calc(ss[i].from,ss[i].to);        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",cnt[i]);    }    if(n==99994 && m==99994) solve_lian();    else if(n==99995 && m==99995) solve_sta();    else if(n==99996 && m==99996) solve_end();    return;}int main(){    solve();    return 0;}

100分正解：

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<vector>using namespace std;const int MAXN=600000+55;int fst[MAXN],nxt[MAXN],D[MAXN<<1],w[MAXN],deep[MAXN],fa[MAXN];int son[MAXN],top[MAXN],size[MAXN],csum[MAXN],Mark[MAXN];int siz[MAXN],cnt[MAXN];struct hh {int from,to;}ma[MAXN];struct sh{int from,to,len,lca;}mp[MAXN];vector<int>G[MAXN],V[MAXN];int n,tot,m;inline int read(){    char c=getchar();    int ss=0;//第一遍交全WA，后来发现是手读打错了，打错了竟然还过了样例……     while(c<'0' || c>'9') c=getchar();    while(c>='0' && c<='9') ss=ss*10+c-'0',c=getchar();    return ss;}void build(int f,int t){    ma[++tot]=(hh){f,t};    nxt[tot]=fst[f],fst[f]=tot;    return;}//------------------------------------------------------树剖处理树上信息; void dfs1(int x,int f){    deep[x]=deep[f]+1,fa[x]=f,siz[x]=1;    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==f) continue;        csum[v]=csum[x]+1,dfs1(v,x),siz[x]+=siz[v];        if(!son[x] || siz[son[x]]<siz[v]) son[x]=v;    }    return;}void dfs2(int x,int st){    top[x]=st;    if(!son[x]) return;    dfs2(son[x],st);    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==son[x] || v==fa[x]) continue;        dfs2(v,v);    }    return;}int get_lca(int x,int y){    int fx=top[x],fy=top[y];    while(fx!=fy)    {        if(deep[fx]<deep[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy);        x=fa[fx],fx=top[x];    }    return deep[x]>deep[y]?y:x;}//--------------------------------------------------------void Dfs(int x){    int cc=D[deep[x]+w[x]],co=D[w[x]-deep[x]+MAXN];//用于后面计算差值；     for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])    {        int v=ma[i].to;        if(v==fa[x]) continue;        Dfs(v);    }    D[deep[x]]+=Mark[x];//统计对祖先做的贡献;    for(int i=0;i<V[x].size();i++)    {        int v=V[x][i];//v为x做终点时的路线编号         D[mp[v].len-deep[mp[v].to]+MAXN]++;//统计对祖先做的贡献;     }    cnt[x]+=D[deep[x]+w[x]]-cc + D[w[x]-deep[x]+MAXN]-co;    for(int i=0;i<G[x].size();i++)    {        int v=G[x][i];//v为x做lca时的路线编号;         D[deep[mp[v].from]]--,D[mp[v].len-deep[mp[v].to]+MAXN]--;//将不会做贡献的点减去;     }    return;}void solve(){    int x,y;    n=read(),m=read();    for(int i=1;i<n;i++)        x=read(),y=read(),build(x,y),build(y,x);    for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();    dfs1(1,0),dfs2(1,1);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        mp[i].from=read(),mp[i].to=read();        mp[i].lca=get_lca(mp[i].from,mp[i].to);        mp[i].len=csum[mp[i].from]+csum[mp[i].to]-2*csum[mp[i].lca];        G[mp[i].lca].push_back(i),V[mp[i].to].push_back(i),Mark[mp[i].from]++;        if(deep[mp[i].from]==deep[mp[i].lca]+w[mp[i].lca]) cnt[mp[i].lca]--;//提前将lca多计算的次数减去;     }    Dfs(1);    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",cnt[i]);    return;}int main(){    solve();    return 0;}