算法思想之牛逼的DP
来源:互联网 发布:淘宝客服一分钟多少字 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 01:45
昨晚无意间浏览到一篇为何学习使用DP的文章,给了我很大的震惊,让我深深的意识到DP的重要性以及数学建模能力、实践代码解决能力、以及面向对象解决算法问题
昨晚熬夜浏览了不少关于DP的文章和详解,感觉差不多多少有点顿悟了, 然后我自己总结下如下:
1.关于使用DP可以解决哪些问题?也就是说哪些问题可以采用DP?
无非2点:
最优子结构;
重复性子问题;
因为DP思想本质是:通过你强大的数学递推能力,推导出最优解的递推式,然后反映在计算机中就是用空间换取时间来快速解决问题;空间 == 创建数组来保存已经求解得到的最优问题解,用到的时候直接用,而不是再计算一次,典型的就是费波纳契数列!
对于简单的DP可能只需要1维数组保存结果就足够,比如:费波纳契数列;
对于难点的DP可能需要2维数组,比如01背包问题,这样的问题就是比较难的了,这个时候就需要你自己推导递推公式,然后再做了。(这点是最难的!)
一般不会超出2维数组 。
1.关于为何使用DP以及入门:
从一个简单例子学习DP
2.学习01背包的思想以及代码实现:
动态规划解决01背包问题
动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)
java代码实现
3.分享
按图索骥找到的分享下个java代码
4.代码实现与结果:
值得提及的一个问题是,在用 JAVA 实现时, 是按算法模型建模,还是用对象模型建模呢? 如果用算法模型,那么 背包的值、重量就直接存入二个数组里;如果用对象模型,则要对背包以及背包问题进行对象建模。思来想去,还是采用了对象模型,尽管心里感觉算法模型似乎更好一些。有时确实就是这样,对象模型虽然现在很主流,但也不是万能的,采用其它的模型和视角,或许可以得到更好的解法。
/** * 求解背包问题: * 给定 n 个背包,其重量分别为 w1,w2,……,wn, 价值分别为 v1,v2,……,vn * 要放入总承重为 totalWeight 的箱子中, * 求可放入箱子的背包价值总和的最大值。 * * * NOTE: 使用动态规划法求解 背包问题 * 设 前 n 个背包,总承重为 j 的最优值为 v[n,j], 最优解背包组成为 b[n]; * 求解最优值: * 1. 若 j < wn, 则 : v[n,j] = v[n-1,j]; * 2. 若 j >= wn, 则:v[n,j] = max{v[n-1,j], vn + v[n-1,j-wn]}。 * * * 求解最优背包组成: * 1. 若 v[n,j] > v[n-1,j] 则 背包 n 被选择放入 b[n], * 2. 接着求解前 n-1 个背包放入 j-wn 的总承重中, * 于是应当判断 v[n-1, j-wn] VS v[n-2,j-wn], 决定 背包 n-1 是否被选择。 * 3. 依次逆推,直至总承重为零。 * * * 重点: 掌握使用动态规划法求解问题的分析方法和实现思想。 * 分析方法: 问题实例 P(n) 的最优解S(n) 蕴含 问题实例 P(n-1) 的最优解S(n-1); * 在S(n-1)的基础上构造 S(n) * 实现思想: 自底向上的迭代求解 和 基于记忆功能的自顶向下递归 */package dp;import java.util.ArrayList;public class DPTest { // 对象建模:也就是背包模型 static class Knapsack { private int weight; private int value; public Knapsack(int weight, int value) { this.weight = weight; this.value = value; } public int getWeight() { return weight; } public void setWeight(int weight) { this.weight = weight; } public int getValue() { return value; } public void setValue(int value) { this.value = value; } @Override public String toString() { return "Knapsack [weight=" + weight + ", value=" + value + "]"; } } // 应用背包的动态规划算法 static class KnapsackProblem { // 组合背包 private Knapsack[] bags; // 定义总承重 private int totalWeight; // 定义背包数量 private int n; // 前 n 个背包,总承重为 totalWeight 的最优值矩阵 private int[][] bestValues; // 前 n 个背包,总承重为 totalWeight 的最优值 private int bestValue; // 前 n 个背包,总承重为 totalWeight 的最优解的物品组成 private ArrayList<Knapsack> bestSolution; public KnapsackProblem(Knapsack[] bags, int weight) { this.bags = bags; this.totalWeight = weight; this.n = bags.length; System.err.println(n); if (bestValues == null) { bestValues = new int[n + 1][totalWeight + 1]; } } /** * 求解前 n 个背包、给定总承重为 totalWeight 下的背包问题 */ public void solve() { System.out.println("给定背包:"); for (Knapsack b : bags) System.out.println(b); System.out.println("给定总承重: " + totalWeight); // 重头戏: for (int j = 0; j <= totalWeight; j++) { for (int i = 0; i <= n; i++) { if (i == 0 || j == 0) bestValues[i][j] = 0; else { // 如果第 i 个背包重量大于总承重,则最优解存在于前 i-1 个背包中, // 注意:第 i 个背包是 bags[i-1] if (j < bags[i - 1].getWeight()) bestValues[i][j] = bestValues[i - 1][j]; else { // 如果第 i 个背包不大于总承重,则最优解要么是包含第 i 个背包的最优解, // 要么是不包含第 i 个背包的最优解, 取两者最大值,这里采用了分类讨论法 // 第 i 个背包的重量 iweight 和价值 ivalue int iweight = bags[i - 1].getWeight(); int ivalue = bags[i - 1].getValue(); bestValues[i][j] = Math.max(bestValues[i - 1][j], ivalue + bestValues[i - 1][j - iweight]); } // else } // else } // for } // for // 求解背包组成 if (bestSolution == null) { bestSolution = new ArrayList<Knapsack>(); } int tempWeight = totalWeight; for (int i = n; i >= 1; i--) { if (bestValues[i][tempWeight] > bestValues[i - 1][tempWeight]) { bestSolution.add(bags[i - 1]); tempWeight -= bags[i - 1].getWeight(); } if (tempWeight == 0) break; } //记录一下最优价值而已 bestValue = bestValues[n][totalWeight]; } /* * * 获得前 n 个背包, 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值 * 调用条件: 必须先调用 solve 方法 */ public int getBestValue(){ return bestValue; } /* * * 获得前 n 个背包, 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵 * 调用条件: 必须先调用 solve 方法 */ public int[][] getBestValues(){ return bestValues; } /* * * 获得前 n 个背包, 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵 * 调用条件: 必须先调用 solve 方法 */ public ArrayList<Knapsack> getBestSolution(){ return bestSolution; } } //测试方法 public static void main(String[] args) { Knapsack[] bags ={ new Knapsack(2,6), new Knapsack(2,3), new Knapsack(6,5), new Knapsack(5,4), new Knapsack(4,6), }; int totalWeight = 10; KnapsackProblem kp = new KnapsackProblem(bags,totalWeight); kp.solve(); System.out.println(" -------- 该背包问题实例的解: --------- "); System.out.println("最优解:"+kp.getBestValue()); System.out.println("最优解【选取的背包】: "); System.out.println(kp.getBestSolution()); System.out.println("最优值矩阵:"); int[][] bestValues = kp.getBestValues(); for (int i=1; i < bestValues.length; i++) { for (int j=1; j < bestValues[i].length; j++) { System.out.printf("%-5d", bestValues[i][j]); } System.out.println(); } }}
运行结果:给定背包:Knapsack [weight=2, value=6]Knapsack [weight=2, value=3]Knapsack [weight=6, value=5]Knapsack [weight=5, value=4]Knapsack [weight=4, value=6]给定总承重: 10 -------- 该背包问题实例的解: --------- 最优解:15最优解【选取的背包】: [Knapsack [weight=4, value=6], Knapsack [weight=2, value=3], Knapsack [weight=2, value=6]]最优值矩阵:0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 6 6 9 9 9 9 9 9 9 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14 0 6 6 9 9 9 10 11 13 14 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15 **总结:**动态规划法总结:1. 动态规划法用于求解非最优化问题:当问题实例P(n)的解由子问题实例的解构成时,比如 P(n) = P(n-1) + P(n-2) [斐波那契数列] ,而 P(n-1) 和 P(n-2)可能包含重合的子问题,可以使用动态规划法,通过自底向上的迭代,求解较小子问题实例的解,并作为求解较大子问题实例的解的基础。关键思想是: 避免对子问题重复求解。比如: 求斐波那契数 F(5):F(5) = F(4) + F(3);子问题: F(4) = F(3) + F(2) F(3) = F(2) + F(1); F(2) = F(1) + F(0) F(2) = F(1) + F(0);子问题: F(3) = F(2) + F(1) F(2) = F(1) + F(0)由上面的计算过程可知,如果单纯使用递归式,则子问题 F(2) 被重复计算了2次;当问题实例较大时,这些重复的子问题求解就会耗费大量不必要的时间。 若使用动态规划法,将 F(2) 的值存储起来,当后续计算需要的时候,直接取出来, 就可以节省不少时间。另一个比较典型的例子是: 求解二项式系数 C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)2. 动态规划法求解最优化问题: 当问题实例P(n) 的最优解 可以从 问题实例 P(n-1) 的最优解 构造出来时,可以采用动态规划法,一步步地构造最优解。 关键是掌握动态规划法求解问题时的分析方法,如何从问题导出 解的递推式。 实际上,当导出背包问题的递归式后,后来的工作就简单多了,如何分析背包问题,导出其最优解的递推式,我觉得,这才是最关键的地方!问题分析很重要!
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