51nod 1836 战忽局的手段(期望+矩阵快速幂)

众所周知，有一个神秘的组织——战忽局，在暗中保护着我们。在局中任职的官员都有着极强的忽悠技巧，不只能用预言，还能用往事忽悠人。如今某外星间谍已经获得了战忽局曾经参与的n次事件的资料，局座发现了这件事，于是决定再次用忽悠来保证战忽局的安全。局座将发表m次演讲，每一天他都会从n事件中等概率地挑选一件混淆众人，由于局座每天很忙，不能把之前将的事件都记录下来，因此他可能会重复选择某一件事。现在局座想知道，m次演讲过后，期望能使多少事件混淆众人。
Input
第一行一个整数T（1<=T<=1000）,表示数据组数。接下来T行每行两个正整数n,m（1<=n,m<=1e18）分别表示事件数和局座演讲的次数。
Output
对于每组数据输出一行一个实数ans,表示局座在m次演讲之后期望混淆众人的事件数，你输入的数和标准答案的相对误差不超过1e-6视为正确。
Input示例
3
2 2
10 100000
3 2
Output示例
1.5000000
10.0000000
1.6666667

解题思路

设f(i)为第i次演讲后期望混淆众人的事件数，则f(i+1)=f(i)n∗f(i)+n−f(i)n∗(f(i)+1)，化简之后可得：f(i+1)=n−1n∗f(i)+1，构造矩阵，利用矩阵快速幂求解。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ff __float128#define ll long long#define maxn 2struct matrix{    ff f[maxn][maxn];}ans,ori;matrix multi(matrix a,matrix b){    matrix c;    for(int i=0;i<maxn;i++)        for(int j=0;j<maxn;j++)    {        c.f[i][j]=0;        for(int k=0;k<maxn;k++)        {            c.f[i][j]+=a.f[i][k]*b.f[k][j];        }    }    return c;}void quick_pow(ll num){    memset(ans.f,0,sizeof(ans.f));    ans.f[0][0]=ans.f[1][1]=1;    while(num>0)    {        if(num%2)        {            ans=multi(ans,ori);        }        ori=multi(ori,ori);        num/=2;    }}int main(){    int T;    ll n,m;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%I64d %I64d",&n,&m);        ori.f[0][0]=(ff)(n-1)/n,ori.f[0][1]=0;        ori.f[1][0]=1,ori.f[1][1]=1;        quick_pow(m);        double cnt=ans.f[1][0];        printf("%.7f\n",cnt);    }    return 0;}