CQYZ_Vijos_P3650 杨辉三角形

【问题描述】

　　小沐在在奥数课上刚学习了组合数C(n,m)，以及与组合数相关的一个最重要内容——杨辉三角形。如下图所示的是一个7行的杨辉三角形。

　　小沐把杨辉三角形从左到右的每列依次编号为0,1,2,……，从上到下的每行编号为0,1,2,……。那么杨辉三角形的第i行第j列的数就是C(i,j)。
　　现在小沐在思考这样的问题：给出任意n,i,j，那么在n行的杨辉三角形中第i行与第j列的和分别是多少？由于小沐还小，需要你来帮助他解决这个问题。

【输入格式】

　　第一行是整数T，表示数据组数，
　　接下来的T行，每行包含3个整数：n ,i ,j ( i, j < n)，表示询问n行的杨辉三角形中第i行的和与第j列的和。

【输出格式】

　　输出有T行，每行输出两个整数，分别为对应输入的n行杨辉三角形的第i行的和以及第j列的和，他们可能很大，请模1004535809后输出。

【输入样例】

3
7 1 0
5 4 3
6 3 2

【输出样例】

2 7
16 5
8 20

【数据范围】

对于50%的数据， 1 <= n <= 5000。
对于100%的数据，T<=100，1<=n<=1000000。

题解：

　　简单（？）的数论题
　　一问：杨辉三角形的第i行的和
　　　　ans1=2^i
　　证明一：
　　　　很明显第i行的和是第i-1行的和的2倍，且第0行（注意编号从0开始）的和为1
　　　　具体说一说：
　　　　1. 设d[i][j]为杨辉三角形第i行第j列的数，sum[i]为杨辉三角形第i行的和，则
　　　　　　sum[i]=d[i][0]+d[i][1]+…+d[i][i];
　　　　2.在杨辉三角形中，有d[i][j]=d[i-1][j-1]+d[i-1][j]，且d[i][0]=d[i][i]=1，所以
　　　　　　sum[i]=d[i][0]+d[i][1]+…+d[i][i]
　　　　　　　　　=d[i-1][0]+(d[i-1][0]+d[i-1][1])+…+(d[i-1][i-2]+d[i-1][i-1])+d[i-1][i-1]
　　　　　　　　　=2*(d[i-1][0]+d[i-1][1]+…+d[i-1][i-2]+d[i-1][i-1]
　　　　　　　　　=2*sum[i-1]
　　证明二：
　　　　二次项定理 (x+y)^n=C(n,0)* x^n+C(n,1)* (x^(n-1))*y+…+C(n,n)*y^n
　　　　当x=y=1时，有
　　　　　　2^n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)
　　　　也就是杨辉三角形第n行的和

　　二问：杨辉三角形的第j列的和
　　　　ans2=C(n,j+1) （注意n是杨辉三角形的行数，j是编号）
　　证明：
　　　　在杨辉三角形中，有d[i][j]=d[i-1][j-1]+d[i-1][j]，且d[i][i]=d[i+1][i+1]=1，所以
　　　　　　　d[j][j]+d[j+1][j]+…+d[n-1][j]　　（再说一次编号是0~n-1）
　　　　　　=d[j+1][j+1]+d[j+1][j]+…+d[n-1][j]
　　　　　　=d[j+2][j+1]+d[j+2][j]+…+d[n-1][j]
　　　　　　=d[j+3][j+1]+d[j+3][j]+…+d[n-1][j]
　　　　　　……
　　　　　　=d[n-1][j+1]+d[n-1][j]
　　　　　　=d[n][j+1]
　　数据规模达到100000，打表不可能了，只有用组合公式算
　　最后代码实现的时候由于要取模，且公式里有除法，有两种处理方式：
　　　　1.分子分母分解质因数，变成形如 a1^q1*a2^q2*…*an^qn 的形式，用指数相减的方式来计算
　　　　2.乘法逆元
　　其中方法1可行的原因是组合数一定为整数，如果除不尽是不能这样处理的
　　方法2一定要先打一个阶乘的表出来，否则有可能超时

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdlib>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=1000005,mo=1004535809;ll jie[maxn]={0};int n,I,J;int in(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();    return x*f;}ll mypow(int a,int q){    ll ret=1,tmp=a;    while(q){        if(q&1) ret=ret*tmp%mo;        q/=2,tmp=tmp*tmp%mo;    }    return ret;}int main(){    int T=in();    ll ans1,ans2,tmp1,tmp2,tmp3;    jie[0]=jie[1]=1;    for(int i=2;i<=1000001;i++) jie[i]=jie[i-1]*i%mo;    while(T--){        n=in(),I=in(),J=in();        ans1=mypow(2,I);        tmp1=jie[J+1],tmp2=jie[n],tmp3=jie[n-J-1];        tmp1=mypow(tmp1,mo-2),tmp3=mypow(tmp3,mo-2);        ans2=tmp2*tmp3%mo*tmp1%mo;        printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);    }    return 0;}