算法导论（五）——树

                                 算法导论（五）——树

【主要参考资料：MIT算法导论视频，《数据结构，算法与应用，c++语言描述》】

完全二叉树：

只有最下面两层度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。

已知节点总数为n，则叶子结点数n0＝（n＋1）/2。

       假设元素编号i[1,n]，若i==1,则为根元素，i>1则父节点的编号为i/2;若2i>n，则该元素无左孩子，否则其左孩子的编号为2i;若2i+1>n，则该元素无右孩子，否则其右孩子的编号为2i+1。

 

满二叉树：

高度为h,恰好有2^h-1个元素。它是完全二叉树的特例。一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应。

动态查找树

主要有： 二叉查找树(BST)，平衡二叉查找树(AVL)，红黑树(RBT)，B~/B+树(B-tree)。

优势：

①都是动态结构。在删除，插入操作的时候，都不需要彻底重建原始的索引树。最多就是执行一定量的旋转，变色操作来有限的改变树的形态，代价较小。②查找的时间复杂度大体维持在O(log(N))数量级上（除BST最坏情况O(N)）。

 

(1)  排序（查找）二叉树

二分查找效率为Θ(lgn)，但不适于动态的插入和删除；散列表查找效率可以到达Θ(1)，但不能进行“范围查找。二叉树可以实现。操作的效率与二叉树的高度成正比，期望效率为Θ(lgn)。最坏情况下为Θ(n),解决方法是"旋转"使"平衡。

【效率：查找最好时间复杂度O(logN)，最坏时间复杂度O(N)。插入删除操作算法简单，时间复杂度与查找差不多】

 

m叉搜索树：

（2）平衡二叉树

为了防止上述的顺序查找，考虑如何最大限度的减小树的深度。

除了具备二叉查找树的基本特征之外，它或者是一棵空树，或者是： 左右子树都平衡，且高度之差绝对值不超过1。在最坏情况下的高度为O(lgn)的树。

常用算法有：红黑树、AVL树、Treap等。

红黑树、AVL树：适合内部存储的应用；对于n>=0，都存在一颗AVL树。

【AVL效率：查找维持在O(logN)，不会出现最差情况。AVL树在执行每个插入操作时最多需要1次旋转，其时间复杂度在O(logN)左右。AVL树执行每个删除操作的时间复杂度需要O(2logN)】

【RBT效率：查找最好情况下O(logN)，但在最坏情况下比AVL要差一些，但也远远好于BST。插入和删除操作改变树的平衡性的概率要远远小于AVL（平衡度AVL > RBT）。因此需要的旋转操作的可能性要小，而且一旦需要旋转，插入一个结点最多只需要旋转2次，删除最多只需要旋转3次(小于AVL的删除操作所需要的旋转次数)。虽然变色操作的时间复杂度在O(logN)，但是实际上，这种操作由于简单所需要的代价很小】

 

（3）B-树（平衡多路查找树）

【通过减少树高来降低二叉查找树的查找代价】【海量存储时，提高磁盘的存储效率】

适合索引方法的数据结构，也是一种平衡树，度大于2，适合化外部存储的应用（如存储在磁盘上的大型词典）。随机访问元素时，先搜索磁盘索引（每个磁盘的最大关键字），确定所属的磁盘，然后从中取出块索引（该磁盘每个块中的最大关键字），确定所属的块，再从块中搜索，确定该元素。

a .查找:将结点中的有序关键字序列放入内存，进行优化查找(可以用折半). B+树作为B树的变种，其查找效率更高。

b.插入： B-Tree的插入会发生结点的分裂操作。当插入操作引起了s个节点的分裂时，磁盘访问的次数为h(读取搜索路径上的节点)＋2s(回写两个分裂出的新节点)＋1（回写新的根节点或插入后没有导致分裂的节点）。因此，所需要的磁盘访问次数是h+2s+1，最多可达到3h+1。代价是很大的。

c. 删除代价：B-Tree的删除会发生结点合并操作。最坏情况下磁盘访问次数是3h＝（找到包含被删除元素需要h次读访问）+（获取第2至h层的最相邻兄弟需要h-1次读访问）+（在第3至h层的合并需要h-2次写访问）+（对修改过的根节点和第2层的两个节点进行3次写访问）

【B-Tree效率： 由于考虑磁盘储存结构，B树的查找、删除、插入的代价都远远要小于任何二叉结构树(读写磁盘次数的降低)】

 

B+树：是应文件系统所需而产生的一种B~树的变形树。

i．一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：

1) 有n棵子树的结点中含有n个关键字； (B~树是n棵子树有n+1个关键字)

2) B+树的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (B~树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)，B+树的非终节点只是作为叶子结点中最大(最小)关键字的索引，没有文件内容所在物理存储的地址（而B~树所有结点均有文件内容所在的磁盘物理地址）。

3) 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (B~树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

 

ii．B+树的查找与B~树类似。但通常B+树有两个头指针，一个指向根结点。另一个指向关键字最小的叶子节点。此外，所有叶子结点也按照大小顺序链接。因此，B+树有两种查找算法：一种从根结点出发，一种从叶子结点出发的顺序查找。B+树与B~树在插入删除操作中的效率是差不多的。

 

iii．B+树比B~树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引

1、 B+树的磁盘读写代价更低（内部结点相对更小）

2、 B+树的查询效率更加稳定（非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当）

 

分裂树：分裂节点是在字典操作中所检察的最深层的节点。

 

二叉搜索（查找）树BST：

操作：基本查询，查询最小、最大关键值、前驱、后继，单个节点的插入和删除操作。

动态集合的操作平均时间为Θ(lgn)【期望效率】。同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。

根节点有关键字，其左子树的关键字都小于它，右子树的关键字都大于它。

 

代码参考http://www.cnblogs.com/zhoutaotao/p/4096237.html

 

二叉搜索树VS快排，make same comparision,butin a different order.

索引二叉搜索树;节点的数值域为三元：leftSize,key,value。假设此树高为h，则查找，插入，删除的时间均为O（h）

应用：1.直方图，统计文本中的单词频率（构造元素the pair,一个成员是关键字，另一个是对应的频率，不断插入，若有匹配则频率增1）；

2. 箱子装载问题（关键字表示箱子的剩余容量（可重复），即查找>=x的最小关键字，删除已经匹配的箱子，重新计算它的剩余容量再插入；若查找失败则启用新箱子）

二叉平衡树AVL

描述;链表。（每个节点增加一个平衡因子,-1/0/1，hL-hR）

查找（同二叉查找树）

1.    插入    

保持平衡的基本思想：插入节点时，首先检查是否因插入而破坏了平衡，若破坏，则找出其中的最小不平衡二叉树（离插入节点最近且以平衡因子的绝对值大于1的节点作为根的子树），在保持二叉排序树特性的情况下，调整最小不平衡子树中节点之间的关系，以达到新的平衡。

旋转类型及代码参考：http://blog.csdn.net/caisini_vc/article/details/5674764

AvlNode<T>添加成员平衡因子bFactor

①当树中节点X的右孩子的右孩子上插入新元素，且平衡因子从-1变成-2后，就需要绕节点X进行左旋转

②当树中节点X的左孩子的左孩子上插入新元素，且平衡因子从1变成2后，就需要绕节点X进行右旋转。

③当树中节点X的左孩子的右孩子上插入新元素，且平衡因子从1变成2后，就需要 先绕X的左子节点Y左旋转，接着再绕X右旋转

④当树中节点X的右孩子的左孩子上插入新元素，且平衡因子从-1变成-2后，就需要 先绕X的右子节点Y右旋转，接着再绕X左旋转

 

2.    删除

找到要删除的元素，选择替换的元素。

http://www.cnblogs.com/QG-whz/p/5167238.html

AvlNode<T>添加成员高度hight

【删除右子树的节点导致AVL树失衡时，相当于在左子树插入节点导致AVL树失衡】

 

3.    性能分析

优势：不会出现普通二叉查找树的最差情况。其查找的时间复杂度为O(logN)。

缺陷： (1)为了保证高度平衡，动态插入和删除的代价也随之增加。——》红黑树

(2) 所有二叉查找树结构的查找代价都与树高紧密相关——》减少树高，多路查找树

(3) 在大数据量查找环境下(比如说系统磁盘里的文件目录，数据库中的记录查询等)，平衡二叉树由于树深度过大而造成磁盘IO读写过于频繁，进而导致效率低下。——》多路查找树/B-树/B+树

红黑树RBT:

它是是一种自平衡二叉查找树，确保拥有对数阶高度。能够以O(log2(N))的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外,任何不平衡都会在3次旋转之内解决。同样多内部节点时，最坏情况下，红黑树的高度大于AVL树的高度。

它是在计算机科学中用到的一种数据结构，主要存储有序的数据，典型的用途是实现关联数组。例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。

 

特性; 1.节点为红色/黑色 2.根节点，叶节点为黑色 3.每个红节点的父节点为黑色 4.从某个节点出发到叶子结点的所有路径，均拥有相同的黑节点数。

 

相关定理

1. 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

2. 红黑树的树高(h)不大于两倍的红黑树的黑深度(bd)，即h<=2bd

3. 一棵拥有n个内部结点(不包括叶子结点)的红黑树的树高h<=2log(n+1)

 

操作

插入和删除操作，恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次

1.    查找（同二叉查找树）。

2.    插入（假设新加入的结点为N，父亲结点为P，叔父结点为Ui，祖父结点G）

将红黑树当做一颗二叉查找，将节点插入；将插入的节点着色为“红色”；通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

分5种情况讨论，http://hxraid.iteye.com/blog/611816核心思想都是将红色的节点移到根节点；然后将根节点设为黑色。

3.    删除（假设要删除的点为 N，它的父亲为P，它的兄弟为S，SL为S的左儿子，SR为右儿子）

将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除；通过“选转和重新着色”等一系列来修正该树，使之重新成为一颗红黑树。首先用child替换

分6种情况讨论，http://hxraid.iteye.com/blog/611816

1.    按关键字查找，插入和删除，优先选择散列技术。

2.    按关键字实施字典操作，且操作时间不能超过指定范围，选用平衡搜索树。

按名次实施的查找和删除，不按精确的关键字匹配进行的字典操作（寻找关键字大于k的最小元素），选用平衡搜索树。

3.    AVL树和红黑树是常用的平衡二叉树，都采用“旋转”保持平衡，他们的实际运行时间性能类似，分裂树对任意的字典操作序列更快速，实现更简单。

4.    STL类的map和multimap都用了红黑树结构，保证查找，插入和删除都有对数级的操作时间。

5.    对存储在磁盘上的大型字典，需要用B-树。

 

 

 

 

参考：

http://blog.csdn.net/crystal_avast/article/details/7700386

http://www.cnblogs.com/zhoutaotao/p/4096237.html 

http://blog.csdn.net/caisini_vc/article/details/5674764

http://blog.csdn.net/sunjerdege/article/details/6861698

http://www.cnblogs.com/QG-whz/p/5167238.html

http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3624291.html