数据结构——树（2）——二叉堆的基本操作原理

二叉堆的存储

上次我们讨论了什么是二叉堆，以及完全二叉树的定义，这次我们来看看，我们应该如何来存储我们的二叉堆。先来看看下面的这个二叉堆：

我们看到这个，也许我们第一反应是用一个基于节点的方式储存：

是的，这就是一个很正常也是最容易想到的方式。然而，科学家却发现使用基于数组的方式能更好的存储我们的二叉堆。我们把根（root），放在下标为1的位置（而不是0），这是为了我们能从数学的角度更好的理解这个原理。 如下图所示：

为什么是这样存放我们的数组呢？因为用数组表示二叉堆，使得我们确定父亲与孩子之间的问题就变成了简单的算术问题：
对于每一个位于下标为 i 的元素来说
- 它的左孩子一定在 2i 的位置
- 右孩子一定在 2i + 1 的位置
- 父亲一定在[i / 2]的位置

我们举例子，上面的元素12，下标为4，所以它的左孩子的下标就是 2 x 4 = 8.也就是上图的22元素。它的右孩子同理。它的父亲为 4 / 2 = 2的位置，也就是元素10。

二叉堆的基本操作

还记得我们的之前提到过的优先级队列问题吗？数据结构——树（1）——二叉堆
基本功能如下：

操作 功能 enqueue（k，e）： 将优先级为k的元素e插入到P中。 dequeue（）： 从P中删除具有最高优先级的元素。 peek（）： 返回具有最高优先级键的P的元素（但是不从队列中删除）

现在，我们可以从堆的角度去解决这个问题：

peek();

我们只需要返回堆的首元素就可以了，也就是

return heap[1];

复杂度？？毫无疑问是O（1）！

enqueue(k)；

在堆中插入元素。在这里假设我们要在堆中插入一个元素为9.我们应该要经过下面的一些步骤：
1. 我们先把元素插入到旧数组元素的尾部，也就是heap[heap.size() + 1]的位置。
2. 执行“冒泡”（bubble up）或“上堆”（up-heap）操作：比较添加的元素与其父亲， 如果按正确的顺序，停止操作，如果不是，交换并重复步骤2。

文字总是抽象难懂的，那么我们就图文解释走一波：
1. 一开始我们的初始堆假设就是我们开始的那个图：

2. 接着我们把新元素插入到旧数组的尾部，也就是堆中的空白位置（并不是随意的，以为可以通过下标计算父亲是谁），也就是heap[heap.size() + 1]的位置，在这个例子中就是我们的下标10：

3. 由于这个时候我们是新插入的元素，根据堆的属性，我们找到下标为10的元素的父亲位于哪个位置。也就是计算10 / 2 = 5，也就是位于5的元素就是新插入元素的父亲，那么它符不符合小堆的要求？11 > 9 显然是不符合，所以我们把他们进行交换。如下面两幅图所示：
4.

5. 好，这个时候我们再对比5号位置的值与它的父亲位置的值，这个时候我们计算 5 / 2 = 2.5,可是这里并没有下标为2.5的元素，我们采取的是向下取整（其实设置为int型就会自动转换的），所以下标为2的元素10，仍然大于9，于是我们再交换：

6. 重复以上的操作，发现5已经小于9了，因此操作结束，插入元素操作完成！

那么，这个操作的算法复杂度是多少呢？O（log n）！

dequeue（）；

dequeue操作，也就是我们要移除堆顶的元素。如果按照上述的例子，很显然我们要把5移除出去，但是这就有问题了，把5移除后，就破坏了堆的结构，那么谁来做这个堆顶呢？我们一般有下面的一些操作：
1. 当我们删除根的时候，我们仍然需要保留一个完全树：于是我们用最后一个元素替换根。
2. 使用下堆（down-heap）操作，寻找新符合条件的新的根：将根与它的孩子们进行比较，如果他们的顺序正确，操作停止。否则将根与两个孩子中最小的那个进行交换，然后继续重复步骤2.
3. 要时刻注意该节点是否存在孩子，如果没有孩子或者只有一个，那么就不用执行比较操作。那么如何判断呢？可以这样想，如果有该节点有右孩子，那么它的左孩子也必定存在！！是不是很有道理？
那么 我们同样图文解释一波：
1. 我们先假设我们的初始堆为下图：

2. 接下来我们移除我们的堆顶

3. 将最后一个元素（此时它的位置当然是在 heap[heap.size()] 处）移动到堆顶处，准备我们的down-heap操作。（注意，移动了堆顶以后，不要忘记了堆的大小是要减一的）

4. 将根与它的较小的还在进行比较，并交换（这里指的是13和8）：

5. 如果有必要，那么我们继续保持交换，直到它再也没有更多的孩子跟它比较了，我们也就完成工作了！

至此，简单的二叉堆的基本操作就完成了，但是这有个问题。这些操作都是建立在已有堆的操作上的。但是如果给的是一堆无关的数字呢？显然我们要学会怎么建立一个二叉堆！下次再说，如何建立二叉堆与如何完成堆排序。