[deeplearning-005] 一般形式的反向传导算法BP最简推导-3

前述两篇推导还是太繁琐了，有一种更简单的方式。因为排版的问题，直接贴图。

根据上述公式，可以实现一个简单的验证性python代码

#!/usr/bin/env python#!-*- coding:utf-8 -*-#bp alogrithmimport mathimport numpy as np#active functiondef f(x):    return 1.0/(1+math.exp(-x))#应激函数的一阶导数def d_f(x):    return f(x)*(1-f(x))#神经网络层数p=3#神经网络每层的神经元数量，第一个值是None，是为了脚标从1开始d = [None, 2,3,1]#有一个None，是为了脚标从1开始#权重矩阵W = [None]#biasb = [None]#z^l_{j,i}z = [None]#a^l_{j,i}a = [None]#a一阶偏导del_a = [None]for i in range(1,p):    #随机初始化权重矩阵    W.append(np.array(0.01*np.random.rand(d[i+1], d[i])))    #随机初始化bias    b.append(np.array(0.01*np.random.rand(1, 1)))for i in range(1,p+1):    #初始化z值    z.append(np.zeros((d[i],1), np.float64))    #初始化a值    a.append(np.zeros((d[i], 1), np.float64))    #初始化a的一阶偏导    del_a.append(np.zeros((d[i], 1), np.float64))#样本x = np.array([0.0, 1.0], np.float64).reshape((2,1))y = np.array([1.0], np.float64)#学习速率eta = 0.1;###开始计算n = 1#最大迭代次数max_iter = 200#将输入层设置为样本xa[1]=x#循环计算while n <= max_iter:    print('第'+str(n)+'迭代'+'-'*20)    #计算z^l_{j,i}和z^l_{j,i}    for l in range(2,p+1):        print('*'*5)        print(' ' * 2, '计算z[' + str(l) + ']')        print(' ' * 4, 'a['+str(l-1)+']=', a[l-1])        print(' ' * 4, 'W['+str(l-1)+']=', W[l-1])        print(' ' * 4, 'b['+str(l-1)+']=', b[l-1])        z[l] = np.dot(W[l-1], a[l-1])+b[l-1]        print(' ' * 4, 'z['+str(l)+']=',z[l])        print(' '*2,'计算a['+str(l)+']')        for i in range(d[l]):            a[l][i,0] = f(z[l][i,0])        print(' ' * 4, 'a['+str(l)+']=', a[l])    print(' ' * 2, '计算a和z结束')    #计算\frac{\partial J}{\partial a^l_{j,i}}    print('*'*5)    print(' '*2, '计算del_a')    #第p层需要单独计算    for i in range(d[p]):        del_a[p][i] = -(y[i]-a[p][i,0])    print(' '*4, 'del_a['+str(p)+']=', del_a[p])    #第i层    print(' '*4, '**')    for i in range(p-1, 0,-1):        #第i层的第j个神经元        for j in range(d[i]):            #先将其值置0            del_a[i][j,0] = 0            #然后求和            for k in range(d[i+1]):                del_a[i][j,0] += W[i][k,j]*d_f(z[i+1][k,0])*del_a[i+1][k][0]        print(' ' * 4, 'del_a[' + str(i) + ']=', del_a[i])    #计算新的W_l_{j,i}    #第l层    for l in range(p-1,0,-1):        #第l层第i个神经元        print('W['+str(l)+']=', W[l])        print('b['+str(l)+']=', b[l])        for i in range(d[l]):            for j in range(d[l+1]):                W[l][j,i] -= eta*del_a[l+1][j]*d_f(z[l+1][j,0])*a[l][i,0]                b[l] -= eta*del_a[l+1][j]*d_f(z[l+1][j,0])        print('new W[' + str(l) + ']=', W[l])        print('new b[' + str(l) + ']=', b[l])    n += 1

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\documentclass[a4paper, 12pt]{article}\usepackage{CJK}%define the tile\title{BackPropagation Alogrithom}\usepackage{graphicx}\usepackage{pythonhighlight}\begin{document}\begin{CJK}{UTF8}{gkai}%generates the title\maketitle\section{前馈神经网络}前馈神经网络：设神经网络的层数是$p$，各层分别记为$L^1,L^2,...,L^p$，每层的神经元数量记为$d^1, d^2,...,d^p$，每个神经元的应激函数记为$f(x)$。训练集是$\{(\mathbf{x}^k, \mathbf{y}^k) \} k=1,...,m$，显而易见，$\mathbf{x^k} \in R^{d^1\times 1}$，$\mathbf{y^k} \in R^{d^p\times 1}$，$\mathbf{x}^k$是一维列向量且元素个数跟神经网络输入层的神经元数量相同，同理$\mathbf{y}^k$是一维列向量且元素个数跟神经网络输出层神经元数量相同。为推导方便，设$(\mathbf{x}, \mathbf{y})$是一组样本。根据神经网络的定义，在第$l$层，第$i$个神经元的输入值记为$z^l_i$，输出值记为$a^l_i$，有如下关系：\begin{eqnarray*}a^l_i &=& f(z^l_i)\\z^{l+1}_j &=& \sum_{i=1}^{d^l}\mathbf{W}^{l}_{j,i}a^l_i+ \mathbf b^l\end{eqnarray*}上述两式，定义了神经网络的计算方式。其中，$\mathbf{W}^l$是第$l$层和第$l+1$层之间的权重矩阵，$\mathbf{W}^l_{j,i}$是第$l$层的第$i$个神经元的与第$l+1$层的第$j$个神经元的权重系数，$\mathbf b^l$是第$l$层的bias。对于输入层，可以视为$a^1_i=\mathbf{x}_i$，也就是说，输入层的第$i$个输出值是样本$\mathbf x$的第$i$个元素。神经网络对$(\mathbf{x},\mathbf{y})$拟合误差的代价函数如下：\begin{eqnarray*}J(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x}, \mathbf{y})&=&\frac{1}{2}\sum_{q=1}^{d^p}(\mathbf{y}_q-a^p_q)^2\\&=&\frac{1}{2}\sum_{q=1}^{D}(\mathbf{y}_q-a^p_q)^2\\&=&\frac{1}{2}\sum_{q=1}^{D}(\mathbf{y}_q-f(z^p_q))^2\\\end{eqnarray*}其中，$D=d^p$，代价函数的形式在求解中不会变动，因此用$D$以避免计算中的误解，$\mathbf{y}_q$是$\mathbf{y}$的第$q$个元素，后文$J(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x}, \mathbf{y})$将简写为$J$。\section{权重系数和偏差的一阶偏导求解}前馈神经网络的输出，是样本值进入输入层，从前向后，逐层计算。BP算法求解优化问题，让拟合误差从后向前，从输出层逐层传递到隐层和输入层，由此优化所有权重系数，由此得名BackPropagation反向传播。BP算法的求解推导，本质就是推导相邻两层之间的关系。$J$对$\mathbf b^l$的一阶偏导通式：\begin{eqnarray*}\frac{\partial J}{\partial \mathbf b^l} &=& \sum_{j=1}^{d^{l+1}} \frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}\frac{\partial a^{l+1}_j}{\partial z^{l+1}_j}\frac{\partial z^{l+1}_j}{\partial \mathbf b^l}\\&=& \sum_{j=1}^{d^{l+1}}  \frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}\frac{\partial a^{l+1}_j}{\partial z^{l+1}_j}\\&=& \sum_{j=1}^{d^{l+1}}  \frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}f^{'}(z^{l+1}_j)\\\end{eqnarray*}$J$对$\mathbf{W}^l_{j,i}$的一阶偏导通式：\begin{eqnarray*}\frac{\partial{J}}{\partial \mathbf{W}^l_{j,i}}&=&\frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}\frac{\partial a^{l+1}_j}{\partial z^{l+1}_j}\frac{\partial z^{l+1}_j}{\partial \mathbf{W}^{l}_{j,i}}\\&=&\frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}\frac{\partial a^{l+1}_j}{\partial z^{l+1}_j}a^{l}_{j,i}\\&=&\frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}f^{'}(z^{l+1}_j)a^{l}_{i}\end{eqnarray*}上式的$\frac{\partial{J}}{\partial a^{l+1}_j}$，也可以通过反向传播的方式求解，其通式$\frac{\partial{J}}{\partial a^{l}_j}(l< p)$求解如下：\begin{eqnarray*}\frac{\partial{J}}{\partial {a}^l_{j}}&=&\sum_{r=1}^{d^{l+1}}\frac{\partial J}{\partial a^{l+1}_r} \frac{\partial a^{l+1}_r}{\partial z^{l+1}_r}\frac{\partial z^{l+1}_r}{\partial a^l_j}\\&=& \sum_{r=1}^{d^{l+1}} \frac{\partial J}{\partial a^{l+1}_r} \frac{\partial a^{l+1}_r}{\partial z^{l+1}_r}\mathbf{W}^{l}_{r,j}\\&=& \sum_{r=1}^{d^{l+1}} \frac{\partial J}{\partial a^{l+1}_r} f^{'}(z^{l+1}_r)\mathbf{W}^{l}_{r,j}\\\end{eqnarray*}\newpage以梯度下降法优化$\mathbf{W}^l_{j,i}$和$\mathbf b^l$，$\eta$是学习速率，公式如下：\begin{eqnarray*}\mathbf{W}^l_{j,i} &=& \mathbf{W}^l_{j,i} - \eta \frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^l_{j,i}}\\\mathbf{b}^l &=& \mathbf{b}^l - \eta \frac{\partial J}{\partial \mathbf{b}^l}\\\end{eqnarray*}\section{反向传播计算步骤}步骤如下：1.以极小随机值对$\mathbf W$和$\mathbf b$进行初始化。2.样本$(\mathbf x, \mathbf y)$前向传播计算输出值。3.计算$\frac{\partial J}{\partial a^p_{r}}$，也就是$\frac{\partial J}{\partial a^p_{r}}=-(y_r-a^p_r)$。4.根据上面推导的公式，从后往前计算所有的$\frac{\partial{J}}{\partial a^{l}_j}$。5.根据上面推导的公式，从后往前计算所有的$\frac{\partial{J}}{\partial \mathbf{W}^l_{j,i}}$。6.根据上面推导的公式，从后往前计算所有的$\frac{\partial{J}}{\partial \mathbf{b}^l}$。7.更新所有的$\mathbf W^l_{j,i}$和$\mathbf b^l$。8.重复步骤2至7，直至终止条件达成。\section{推广到多样本和正则化情况}对样本集而言，考虑正则化，代价函数如下：\begin{eqnarray*}\mathbf J(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{X}, \mathbf{Y})&=&\sum_{k=1}^{m}J(\mathbf{W}, \mathbf{b}; \mathbf x_k, \mathbf y_k)+ \frac{\lambda}{2}  \sum_{l=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{d^{l+1}} \sum_{i=1}^{d^{l}} (W^l_{j,i})^2\\\end{eqnarray*}对$W^l_{j,i}$求一阶偏导：\begin{eqnarray*}\frac{\mathbf J(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{X}, \mathbf{Y})}{\partial W^l_{j,i}} &=&\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial J_k}{\partial W^l_{j,i}}+ \lambda W^l_{j,i}\\\end{eqnarray*}从本质上来说，等价于所有样本的一阶偏导之和再加上一个系数。\end{CJK}\end{document}\grid