[YZOJ]P2417-[FJWC2016]翻转硬币-最短路建模

题意简述

给定一段01序列s1，每次可以对长为 ki 的子序列进行取反操作，要求得到一个新的数列s2，需要最小化操作数。

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建模和推倒

看着序列s1 和 s2 都是一些乱七八糟的数很不爽，我们比较s1 和 s2 的每一位，如果不同，把 s2的这一位设为1，最后将 s1 全设为0，对答案无影响，现在我们要把 s2的每一位变成0。

我们知道可以利用差分数组优化区间修改，我们知道对每一位其取值只于翻转次数的奇偶性有关。更重要的是，我们关注操作本身，所以考虑直观反映操作的差分数组。
维护差分数组c[]，对于每一位s[i]，其操作次数为⨁n−1i=1ci。区间修改用O(1)完成。

把需要修改的这些位置整合为几个子区间。我们发现对一段区间翻转需要若干次首尾相连的区间操作，起点为左端点，终点为右端点。
然后有了一个想法：对于每个连续子序列，求出最少需要多少次才能翻转过来。我们发现这些操作组成一条单远单汇的路径，设每条路径的权值为1，就把这个最优化子问题转化为一个最短路问题。
通过最短路问题，我们知道这里我们实际上把端点之间的长度进行了打包。

但仔细验证正确性就会发现，这样并不是最优的。我们发现，实际上对于每个子序列的左右端点组成的序列，拆点后任意的一组匹配都是合法的，匹配的权值为打包后的路径长。

这里出现了一个最大权匹配的想法，但我不会写qwq。

考虑到端点个数不超过30，我们想到状压DP。记f[S]为当前已两两匹配的集合，转移方程很好想：
f[S]=min(f[S−|i|−|j|]+dis[i][j])，其中dis为打包后了路径长。

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//不知道为什么常数贼大的代码。#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define R register#define cmin(_a,_b)(_a)>(_b)?(_a)=(_b):(0)#define max_n 10010#define max_m 105#define max_k 22using namespace std;int n,m,t;int num[max_n],pos[max_k];int len[max_m];int dis[max_k][max_k];int q[max_n],head,tail,d[max_n];int f[1<<22],tmp[max_k];int read(){    R int xx;R char ch;    while(ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9');xx=ch-'0';    while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')xx=(xx<<1)+(xx<<3)+ch-'0';    return xx;}void bfs(int k){    memset(d,0,sizeof(d));    head=0,tail=1;    q[1]=pos[k],d[q[1]]=1;    R int i,u,v,cnt=1;    while(head<tail&&cnt<t)    {        u=q[++head];        for(i=1;i<=m;++i)        {            if((v=u+len[i])<=n&&!d[v])            {                d[v]=d[u]+1,q[++tail]=v;                if(num[v])                    dis[k][num[v]]=dis[num[v]][k]=d[v]-1,++cnt;            }            if((v=u-len[i])>=0&&!d[v])            {                d[v]=d[u]+1,q[++tail]=v;                if(num[v])                    dis[k][num[v]]=dis[num[v]][k]=d[v]-1,++cnt;            }        }    }}int main(){    R int i,j,k,h;    R int S,full;    n=read(),k=read(),m=read();    memset(dis,63,sizeof(dis));    for(i=1;i<=k;++i)    {        j=read();        num[j-1]^=1,num[j]^=1;    }    for(i=1;i<=m;++i)        len[i]=read();    for(i=0,t=0;i<=n;++i)        if(num[i]==1)            pos[++t]=i,num[i]=t;            for(i=1;i<=t;++i)bfs(i);    full=(1<<t)-1;    memset(f,63,sizeof(f));    f[0]=0;    for(S=0;S<=full;++S)    {        k=S,h=0;        for(i=0;i<t&&k;++i)        {            if(k&1)tmp[++h]=i;            k>>=1;        }        for(i=1;i<=h;++i)            for(j=i+1;j<=h;++j)                cmin(f[S],f[S^(1<<tmp[i])^(1<<tmp[j])]+dis[tmp[i]+1][tmp[j]+1]);    }    if(f[full]<1e9)printf("%d",f[full]);    else puts("-1");    return 0;} 

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