倍增法求LCA

何为LCA

就像节目开始之前主持人总要念段广告一样，在这里我要先介绍何为LCA
LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

倍增法

顾名思义，取“成倍地增加”之义
引入倍增法往往可以将O(n)进化为O(log(n))

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倍增法求LCA

注意：请务必搭配手动模拟食用

初始化

分两步

1. 深搜遍历树，更新每个点的深度
2. 然后用f[i][j]记录点i的第2^j次幂的祖先是谁

更新f[i][j]数组代码如下

    void pre(){        maxh=log(n)/log(2)//以2为低n的对数（换底公式可证）        for(int j=1;j<=maxh;j++)            for(int i=1;i<=N;i++)                fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];    }

具体来讲，更新的思路是：i的第2j个父亲是 i的第2j−1个父亲 的第2j−1个父亲即 2j=2j−1∗2j−1

需要注意的是，外层循环j代表2的j次幂，这样的话，就可以保证 i的第2j−1个父亲 的第2j−1个父亲 是已知的

求LCA

求LCA大抵分两步

1. 调平
2. 求LCA

调平是指将所求两点调到相同深度
因为要保证LCA算法整体复杂度在O(log(n))水平，因此一般的方法（O(n)+）是不可行的
所以在此介绍倍增的调平办法
先放代码

    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);//保证x的深度大于y的深度    int d=deep[x]-deep[y];    for(int i=0;i<=maxh;i++){        if((1<<i)&d) x=fa[x][i];    }

(1<<i)d

这个式子需要详细说明一下：

1. 首先是位运算，不懂的同学建议详细学一下，很神奇的，由于本人讲不清楚故不再赘述
2. 从度娘百科回来的你不难发现“&”符可以用来2进制分解；而(1<<i)则等价于2i——这样一切的一切就越发清晰了：该循环的目的是对d二进制分解，并在分解的途中让x向上跳

LCA剩下的代码是这样的

    if(x==y) return x;//如果调平之后x、y重合，则y即为所求    for(int j=maxh;j>=0;j--){        if(fa[x][j]!=fa[y][j]){            x=fa[x][j];            y=fa[y][j];        }    }    return  fa[x][0];

如果最大距离时两点祖先相同，则LCA必然在两点和最大距离之间（废话）
但是在从最远向近处跳的同时我们也在缩小LCA可能存在的区间上限
当跳到某深度，x、y的祖先不是一个了，就将x、y跳到该深度（缩短下限）
由于区间每次都缩小一半，所以该for复杂度为O(log(n))
值得注意的是，x、y最后会停在LCA的儿子上，所以他们的父亲就是我们苦苦寻找的LCA

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强烈建议画图模拟~
举个例子~