【Burnside引理】【Pólya计数法】【Pollard's Rho】【JZOJ 5457】 项链

Description

现在有m 种颜色的珠子。定义一个长度为n的项链为一个顺次连接n个珠子的环, 将所有旋转和翻转看作是等价的。
比如说, [1,2,3,4]通过旋转等价于[2,3,4,1],[3,4,1,2], [4,1,2,3]; [1, 2,3,4] 通过翻转等价于[1,4,3,2], [3,2,1,4], [2,1,4,3],[4,3,2,1]。
同时, 你还可以进行一种颜色转换操作. 这种操作会将所有珠子的颜色编号加1, 特别地, 对于所有颜色编号为m的珠子, 它们的颜色编号会变为1。
如果一个项链A在经过任意的旋转, 翻转, 颜色转换之后变为了项链B,则称A和B是等价的。
现在你要统计有多少个本质不同的项链, 对998244353取模。
对于100% 的数据，1<=T<=20;3<=n<=1018,2<=m<=1018,998244353∤n,m
T为数据组数

n是珠子个数，m是颜色数

群论

分析题目，有旋转、翻转、颜色转换三种不同类型的置换
旋转可以旋1~n格
翻转相当于要么从正面看，要么从反面看
颜色转换可以整体加1~m
那么，置换的总数为2nm

Burnside引理

我们考虑对于每种置换求出其不动点（置换前后相同的序列）个数，求和再除以2nm就是答案
由于翻转比较特殊，要么从正面看（翻转偶数次，相当于不翻转）要么从反面看（翻转奇数次，相当于翻转一次），考虑从翻转入手

不翻转-旋转i格-颜色转换加d

先不要考虑颜色转换，纯粹一点，只有旋转i格？
相信你可以感受出来它的不动点个数为m(i,n)
如果你感受不出来也没关系，用Pólya定理解释，置换“旋转i格”可以分解成若干循环的乘积。点x，x+i必然处于同一个循环，相当于从x开始沿着环走，步长为i，经过的点都在同一个循环。由于回到原点走的步数为lcm(i,n)i=n(i,n)，所以单个循环的长度就是n(i,n)，循环节数就是(i,n)
由Pólya定理，不动点个数为m(i,n)
加上颜色转换？
当旋转i格的时候，颜色转换哪些d是可行的？显然不同的循环本质是一样的，我们只需要针对某一个循环思考
满足dn(i,n)≡0(mod m)的d是可行的（转一圈回到自己颜色相等），自行感受
将和式写出来

∑i=1nm(i,n)∑d=1m[dn(i,n)≡0(mod m)]

=∑i=1nm(i,n)∑d=1m[m(d,m)|n(i,n)]

=∑x|nmn/xφ(x)∑d=1m[m(d,m)|x]

考虑对第二个∑化简

∑d=1m[m(d,m)|x]

=∑i|x∑d=1m[m(d,m)=i]

=∑i|x,i|m∑d=1m[(d,m)=m/i]

=∑i|(x,m)φ(i)

=(x,m)

所以，原式化为

=∑x|nmn/xφ(x)(x,m)

至此，不翻转部分不动点总数已经求完

翻转-旋转i格

Code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<ctime>#include<cmath>#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)#define fd(i,b,a) for(ll i=b;i>=a;i--)#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;typedef long long ll;const ll mo=998244353;ll qmul(ll x,ll y,ll m){    ll t=0;    for(;y;y>>=1,x=(x<<1)%m)        if(y&1) t=(t+x)%m;    return t;}ll qmi(ll x,ll n){    ll t=1;    for(x%=mo;n;n>>=1,x=x*x%mo)        if(n&1) t=t*x%mo;    return t;}ll qpow(ll x,ll n,ll m){    ll t=1;    for(x%=m;n;n>>=1,x=qmul(x,x,m))        if(n&1) t=qmul(t,x,m);    return t;}ll gcd(ll x,ll y){    if(x%y==0) return y;    else return gcd(y,x%y);}ll n,m,ans,num,a[20],b[20];bool check(ll n,ll p,ll u,ll t){    ll x=qpow(n,t,p);    fo(i,1,u)    {        ll nxt=qmul(x,x,p);        if(nxt==1 && x!=1 && x!=p-1) return 0;        x=nxt;    }    return x==1;}bool miller_rabin(ll p){    if(p==2) return 1;    if(p<2 || !(p&1)) return 0;    ll u=0,t=p-1;    for(;t%2==0;t/=2) u++;    fo(i,1,10)    {        ll n=rand()%(p-2)+2;        if(!check(n,p,u,t)) return 0;    }    return 1;}ll pollard_rho(ll n,ll c){    int i=1,k=2;    ll x=rand()%n;ll y=x;    for(;;)    {        i++;        x=(qmul(x,x,n)+c)%n;        ll d=gcd(abs(x-y),n);        if(d!=1 && d!=n) return d;        if(y==x) return n;        if(i==k) y=x,k<<=1;    }}void find(ll n){    if(n==1) return;    if(miller_rabin(n))    {        a[++num]=n;        return;    }    ll d=n;    while(d>=n) d=pollard_rho(n,rand()%(n-1)+1);    find(d);    while(n%d==0) n/=d;    find(n);}void getpr(ll n){    num=0;    find(n);    sort(a+1,a+num+1);    num=unique(a+1,a+num+1)-a-1;    fo(i,1,num)        for(b[i]=0;n%a[i]==0;n/=a[i]) b[i]++;}void dfs(int x,ll d,ll phi){    if(x>num)    {        ans=(ans+gcd(d,m)%mo*phi%mo*qmi(m,n/d)%mo)%mo;        return;    }    ll t=1,xphi=phi*((a[x]-1)%mo)%mo*qmi(a[x],mo-2)%mo;    fo(i,0,b[x])    {        if(!i) dfs(x+1,d*t,phi);        else dfs(x+1,d*t,t%mo*xphi%mo);        t=t*a[x];    }}ll calc(){    ans=0;    getpr(n);    dfs(1,1,1);    if(n&1) ans=(ans+n%mo*qmi(m,n/2+1)%mo)%mo;    else    {        ans=(ans+(n/2)%mo*(qmi(m,n/2+1)+qmi(m,n/2)%mo)%mo)%mo;        if(n%2==0 && m%2==0) ans=(ans+(n/2)%mo*qmi(m,n/2)%mo)%mo;    }    ans=ans*qmi(2*n%mo*(m%mo)%mo,mo-2)%mo;    return ans;}int main(){    srand(time(0));rand();    freopen("necklace.in","r",stdin);    freopen("necklace.out","w",stdout);    int T;    for(scanf("%d",&T);T;T--)    {        scanf("%lld %lld",&n,&m);        printf("%lld\n",calc());    }    return 0;}