第二讲 算法思想的发展历程

第二讲   算法思想的发展历程

 

教学目标与教学指导：

算法思想源远流长，中国古代数学中就蕴涵了丰富的算法思想。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并且日益融入社会生活的许多方面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养。希望通过本专题内容的学习，理解算法思想的特点，了解中学数学对算法教学的要求。

一、什么是算法思想

算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。算法与现在的构造类似。关于数学中的构造性证明和存在性的证明，存在性证明通常只能间接指出对象的存在性，却不能具体构造出所需对象，只是证明了“没有被看到的”存在，这是一种理性的承认，比如关于一元高次方程的根的存在性证明，欧几里得证明“素数个数无限”，等等。希尔伯特曾经在给学生讲到存在性证明时，举过一个例子：“这个班里一定存在一个学生，他的头发数最少，可是我们不可能知道他是谁”。现代数学中这种证明是很多的。

而构造或是算法的体系相信“眼见为实”， 在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。

算法和计算机有着密切的联系，计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确的描述出来，计算机才能够解决问题。因此，算法是计算机科学的重要基础，没有算法也就没有计算机。

张景中：用电脑证明几何定理的数学家

当你做几何证明题时，遇到困难，想过用电脑来帮忙吗？也许你想过。但是要实现这个想法，做起来并不容易。

几十年来，科学家们致力于用电脑来研究数学问题的工作，其中就包括了“定理机器证明”。用电脑来进行几何定理的证明，是一项属于人工智能领域的研究工作，困难是很大的。张景中院士和他的合作者一起创立了电脑生成几何定理可读证明的原理和算法。

什么是几何定理可读证明呢？这就是当操作者向电脑输入几何命题的条件和结论时，电脑便能在很快的时间里，给出人能看得懂的证明，而且人还能检验这些证明的步骤是否正确。张景中院士的这项工作，国际上公认是处于领先地位的。

张景中1936年出生于河南汝南县一个教师家庭。从小就有振兴中华的志向，勤奋好学，并有极高的数学天赋。他在北京大学学习时，是全校公认的全优生，被同学们冠以北大“十大才子”之一的雅号。现在，他是中国科学院院士、中科院成都分院计算机应用研究所的名誉所长。

张景中院士还是一位著名的科普学家。他热心而积极地通过科普作品向广大青少年普及科学思想和科技知识。由于他在科普创作上的成就，被选为中国科普作家协会理事长、四川省科普作家协会名誉主席。他写过多部科普书籍，如《数学家的眼光》、《数学传奇》、《走近科学皇后——数学趣谈》等，都很受青少年欢迎。《数学家的眼光》以被台湾九章出版社要去出版。一位农村学生借到《数学传奇》读后，爱不释手，因买不到，就一字一句的抄了一本。关心青少年的张景中知道后，专门给她寄送了一本。

张景中院士以前曾在中学任教。针对中学几何教学的实际，他提出了以面积法为中心的平面几何新体系新方法，已经写成一书，并在部分中学试教。在此基础上，他提出了“教育数学”的新概念和观点。

张景中的成就和他的优良人品、学品是分不开的。他热爱祖国，热爱党，热爱科学，思想敏捷，勤奋学习，刻苦研究，是杰出的理论计算机科学家、数学家，受到广大青年学子的爱戴和尊敬。

二、中国古代的数学是建立在算法基础之上的

众所周知，中国古代数学不同于现代数学。现代数学是建立在古希腊以《几何原本》为代表的逻辑、公理体系上的，是一种理性思维成果。数学的发展和科学的进步都表明这一成果是富有成效的，是人类最宝贵的精神财富。

而我国的古代数学是建立在算法基础之上的。一切结论只是通过算法来说明，是一种典型的算法体系。这可以从中国古代数学家的著作中看出端倪，其中最具代表性的就是《九章算术》。

《九章算术》是中国古代数学专著，就其成就来说堪称是世界数学名著。它承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。其内容按类分章，以数学问题的形式出现，共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。

算法化、机械化构成了中国古代数学的主要特征，使得数学更好地应用于生产生活。但数学发展的事实表明，这种理念对数学的发展也存在不利的方面。举一个例子，勾股定理是我们最为自豪的古代成果，我国古代对它的证明采用的都是割补面积的思想，正确与否也是“眼见为实”的。可是我们知道，勾股定理事实上更深层次上反映的是三组数的一种特定关系，如果不能从这一层次上证明这一问题，勾股定理的意义只能仅仅停留在几何的层面上。而古希腊的毕达哥拉斯学派的证明，就是从三个数的关系上证明的（仅限于自然数），证明是深刻的，是现代意义上的证明，促进了数学的发展。

 

《九章算术》：不朽的古代数学名著

每当提起中国古代数学，肯定会提到《九章算术》。

《九章算术》是流传至今的我国一部古代数学典籍，根据考证，大约成书于东汉初期，作者姓名不详。

《九章算术》是一部问题集形式的算书，共有246个问题，按不同算法类型分为九章。每章所含问题数目不相等，大致按照由简到繁的次序排列。

第一章“方田”，列题38个。主要讲平面几何图形面积（土地面积）的计算方法。包括长方形（直田）、等腰三角形（圭田）、直角梯形（邪田）、等腰梯形（箕田）、圆（圆田）及圆环（环田）等的面积公式。方田章从第五题开始就系统讲述分数的运算。其中包括约分、通分、分数的四则运算，比较分数的大小，以及求几个分数的算术平均数等。

第二章“粟米”，列题46个。主要讲各种粮食折算的比例问题，在成比例的四个数中，根据三个已知数求第四个数，所用方法称为“今有术”。

第三章“衰分”，列题20个。衰分是按比例递减分配的意思。这一章主要讲按比例分配物资或按一定比例摊派税收的比例分配问题。其中含有用比例方法解决的等差数列、等比数列问题。

第四章“少广”，列题24个。主要讲已知正方形面积或长方体体积反求边长，即开平方或开立方的方法，还给出了由圆面积求周长，由球体积求直径的近似公式。由于取圆周率为3，所以精确度较差。

第五章“商功”，列题28个。主要讲各种形体的体积计算公式。涉及的几何体有长方体、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、楔形体等。问题的大都来源于营造城垣、开凿沟渠，修造仓窖等实际工程。

第六章“均输”，列题28个，均输意为按人口多少、路途远近和谷物贵贱合理摊派税收和劳役等。这一章主要讲以赋税计算和其它应用问题为中心的较为复杂的比例问题的计算方法。

第七章“盈不足”，列题20个。主要讲以盈亏问题为中心的计算方法。

第八章“方程”，列题18个。主要讲一次方程组问题的解法，并提出了关于正、负数加减运算的“正负术”。

第九章“勾股”，列题24个。主要讲勾股定理的应用和测量问题，以及勾股容方和容圆问题的解法。

《九章算术》是中国古典数学的一部最重要的经典著作。它总结了我国先秦至西汉的数学成果，形成以问题为中心的算法体系。它是我国传统文化的一部分，有着鲜明的特色，对世界数学宝库作出了重要贡献。

我国杰出的古代数学家刘徽于魏景元四年（263年）首次注释《九章算术》；唐初，数学家李淳风于显庆元年（656年）奉命对《九章算术》也作了注释。

刘徽在《九章算术注序》中说：“往昔暴秦焚书，经术散坏，自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。”可见，在秦朝以前已有算书流传，但因受秦始皇焚书而散失，后来张苍和耿寿昌等收集了旧算书的残篇，进行了删补。他们删补校订旧算书的目的显然是为了培养行政官吏，或教习官家子弟，以实用为宗旨。1983年从湖北江陵张家山出土的西汉早年（约公元前180年左右）的竹简算书《算数书》，也是采用问题集的形式，并按算法将问题分类。其中大部分算法术语，都出现在以后的《九章算术》之中，因此，《算数书》可能是《九章算术》的取材来源之一。《九章算术》就是在这类算书的基础上，经过多人之手，不断补充、修改、增订而逐步形成的。

由于《九章算术》是我国古代数学教材之一，在民间流传较为广泛，所以，对我国古代数学的影响十分巨大。

《九章算术》对分数、正负数的记载是世界上早而有系统的论述。这不仅早于欧洲，也比印度的有关记载早五、六世纪。

我国古代虽然没有无理数的明确记载，但是，《九章算术》里早有这一概念的萌芽。刘徽意识到有一种开不尽方的数，为了近似地表示这种开不尽方的数，便创造了十进制分数。刘徽十分重视比例算法，当比例算法传到欧洲时，欧洲人对比例算法也很重视，不但称为“黄金算法”，而且往往还把简单的问题化为比例问题去研究。

《九章算术》里提出的方程组的解法是“直除”法。“直除”法就是连续相减的消元法。“直除”法与现今加减消元法在理论上是完全一致的。可见我国在很早以前就掌握了这种解法，它不但比印度婆罗摩笈多的解法早五百多年，也比法国别朱的解法早一千五百余年。此外，《九章算术》还给出了世界上最早的不定方程问题——“五家共井”。

刘徽独立地创造了割圆术，系统而严密地用内接正多边形的面积求得圆周率的近似值。刘徽的割圆术既给我国古代数学开拓了新的道路，也给近代数学奠定了必要的基础。在割圆术里刘徽创立并使用了极限观念，这是我国第一个创立并使用极限观念的数学家，他的业绩是值得表彰的。

《九章算术》不但对我国古代数学有极大影响，对世界数学的发展也起着重要作用。因而引起各国专家的重视。前苏联于1957年由别辽迟金娜将《九章算术》译为俄文；1975年日本出版了大矢真一的日译本；1988年西德出版了福格尔的德译本；侨居英国的王铃作了英译工作。但是，这些译本只译了《九章算术》的经文，却未译刘徽、李淳风的注文。

三、中学数学中的算法内容

算法初步在新课标中是必修模块数学3中的内容之一。它既是高中数学的新增内容，又具有较强的应用性。其教学的安排具有如下特点：

（1）算法思想是贯穿高中课程的一条主线，算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。

（2）在课程设计中算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其它内容中。

（3）算法的基本思想和基本知识的学习遵循以下原则：通过学生熟悉的实例和数学中的实例进行教学，即案例教学；引导学生动手实践，在做中学习、体会、理解算法的基本思想。

（4）介绍算法的基本思想和基本知识的几个步骤：用自然语言描述算法；用框图语言描述算法；用基本语句（伪代码）描述算法；有条件的地方可以使用程序语言描述算法，并上机操作。

（5）算法思想强调的是通性通法，而不去关注问题的特殊性。

（6）算法思想可以很好的培养学生的逻辑推理能力。

具体说来，对于算法的概念，需要使学生明确的是：算法一定是以问题为载体的，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或某一类问题；用算法解决问题的过程是程序性和构造性的。

对于算法的特点，需要使学生明确的是：能行性：算法应有明确的步骤一步一步的引导计算的进行，即每一步都是可读的、可执行的，并且能够得到最终结果；明确性：算法下一步应执行的步骤必须明确──或者由规则确定，或者由规则和上一步的结果确定，而不需要计算者临时动脑筋；有限性：算法应由有限步组成；离散性：算法输入和输出的数据应该是离散的符号（字母、数字或一些键盘符号），例如不能输入一条曲线；通用性：算法应追求能适用于某一类问题的所有个体，只用来解决一个具体问题的算法没有多大价值。

讨论与思考：

1、中国古代数学的主要特点是什么？

2、通过教学应使学生明确算法的哪些特点？