数据流分析中的Distributive Dataflow Problems

Distributive Data flow Problems

一个数据流问题包括如下几部分：

• CFG
• 数据流值的值域
• 初始的数据流值
• 交汇运算（用于将前驱或者后继节点的值进行“交汇”）
• 传输函数
  而Distributive Data flow（可分配数据流问题）问题就是关于交汇运算和传输函数的问题，可分配数据流问题有如下等式：

也就是传输函数trans在交汇运算U上是可分配的。判断数据流问题是否可分配很重要，因为可分配的数据流分析可以使用MFP（Maximal Fixed Point）求解，并且此时MFP等同于MOP（Meet Over All paths），其中Gen-Kill问题都是可分配数据流问题。。图灵完备的程序语言有循环，所以MOP通常情况下都是没有有效的解法的。

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MFP vs MOP

MFP（Maximal Fixed Point）方法是一种次优的数据流问题解决办法，MFP、MOP以及精确解的关系如下公式所示。

MOP（meet over all paths）从字面意思上也能够理解，就是考虑所有的路径，然后在所有的路径上应用传输函数，最后在进行交汇运算，MOP的公式如下所示。

程序的路径有可能是无限的，所有MOP并不一定存在有效的解法，但是MFP是MOP的一种conservatively approximates。
但是要注意的是MOP也是Ideal值的一种conservatively approximates，只要CFG中存在这样一条边，MOP都会将这条边纳入到考虑范围之内。

由于MOP多考虑了不可能执行的路径，所以能够得到更加保守地解。例如对于到达定值来说，多考虑了不可能执行的路径，多出来的路径会交汇（并操作）更多的值，在到达定值的格中，越多的到达定值集合实际“越小”；而对于可用表达式，多考虑了不可能执行的路径，多出来的路径由于交汇运算（交运算）会得到更少的可用表达式，在可用表达式的格中，越少的可用表达式集合“越小”，所以MOP是安全的。

注：上图盗自http://www.cs.cmu.edu/~15745/lectures/L6-Foundations-of-Dataflow.pdf

但是如果数据流问题不是可分配的，那么MFP就不等于MOP，例如下面的问题，

使用MFP算法，过早的进行交汇运算，最后我们并不能得到c的值是多少，但是MOP，先考虑所有路径，得到两条路径c的值为5，再聚合得到c的值就是5。另外关于MFP的收敛速度，可以参照[2]，或者参照前面关于后序和逆后序的文章。

参考资料

[1] http://pages.cs.wisc.edu/~horwitz/CS704-NOTES/2.DATAFLOW.html
[2] http://www.cs.cmu.edu/~15745/lectures/L6-Foundations-of-Dataflow.pdf
[3] https://www.youtube.com/watch?v=t4MKLiiSk-k&t=341s