避难向导 树的直径 树上倍增 二分答案

NKOJ3489【2015多校联训5】避难向导

问题描述

你良心受到了巨大的谴责，因此决定做出一些补救，回答一些逃难的人提出的询问。
已知该国一共有n 个城市，并且1 号城市是首都。(n-1)条双向的公路连接这些城市，通过这些公路，任意两个城市之间存在且仅存在一条路径。每条公路有一个长度。如果一个城市只与一条公路相连，则称它为边境城市。
该国政府有一个奇怪的规定：每个城市有一个封闭系数di，定义di 为离这个城市最远的边境城市到这个城市的距离。市民们认为，一个城市的安全系数Si 和它的封闭系数有很重要的联系。a，b，c 是该国的幸运数字，所以大家公认一个城市的安全系数Si = (di + a) * b mod c。
市民们一共会提出m 次询问。每个询问包含三个信息，xi，yi 和qi。xi 是询问者所在的城市编号。你要为这个询问者在xi 到yi 的必经之路上找出一个离xi最近的避难城市，并且要求这个避难城市的安全系数大于等于qi。如果存在这样的城市（包含xi 和yi），则输出城市编号，否则输出一行包括一个数-1。

输入格式

第一行五个数：依次是n, m, a, b, c。
接下来n-1 行描述公路的信息。每行三个数，前两个数代表这条公路连接的两个城市的编号，第三个数表示这条公路的长度。
再接下来m 行，每行描述一个询问，包含三个数xi, yi 和qi。

输出格式

对于每个询问，输出一行包含一个整数，存在符合要求的城市则输出城市编号，不存在则输出-1。

样例输入

7 6 5 6 20
1 2 4
2 4 2
2 5 3
1 3 5
3 6 6
6 7 7
7 5 15
3 4 5
5 4 2
4 5 2
6 6 10
3 5 19

样例输出

6
3
2
4
6
-1

数据范围

对于100%数据, 0< xi, yi<=n<=100000; a,b,c,qi<=1,000,000;
注意：计算安全系数的中间过程可能需要使用64 位整数。

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首先要解决离某个城市最远的城市的距离。树形DP当然可以搞，但是这在主要问题之前就给自己增加了难度。实际上，离任意一个城市最远的点一定是直径的端点。这个采用反证法不难证明。找树的直径不就是用的这个性质吗？

几遍DFS就可以方便地求出Si。现在考虑如何处理询问。

既然是与路径相关，肯定要考虑LCA。

首先考虑判无解。求出一段路径中点权的最值，可以使用倍增法，注意代码中的V[x][k]不包含点x本身，处理好端点就是最值的细节。

在考虑有解的情况下怎样找到离起点最近且权值满足要求的点。这样的点无非有两种情况：在起点到LCA的路径上或是在LCA到终点的路径上。分别考虑如何解决：

在起点到LCA的路径上：这样的点要求深度尽量深。借鉴倍增法求LCA的思想即可：从大到小枚举i,看向上跳2i是否满足要求，不满足就向上跳。复杂度O(logn)。

在LCA到终点的路径上：这样的情况相对更难搞，因为要求的是深度尽可能浅。由于从LCA到终点的路径上的最值单调不减，可以用二分答案讨论改点到终点的距离，向上跳之后倍增验证即可，复杂度O(log2n)

所以，处理询问时，先讨论是否有解；若有解，则先讨论第一种情况，不满足则讨论第二种情况。最坏情况下时间复杂度O(nlog2n)，可以卡过。

本题涉及知识较多，虽然难度不大，但代码量比较大，细节的处理比较多。考试时过不了，主要是忘记了这个二分答案模板求最大值输出R，最小值输出L。由于是二分的向上跳的距离，所以要求尽可能大，取R才对。

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代码：

#include<stdio.h>#include<algorithm>#define MAXN 300005#define MAXM 600005#define ll long longusing namespace std;int N,M;int en[MAXM],nex[MAXM],las[MAXN],tot;ll len[MAXM];void Add(int x,int y,ll z) {    en[++tot]=y;    nex[tot]=las[x];    las[x]=tot;    len[tot]=z;}int ID,St,En;ll MaxDis;void dfsd(int x,int f,ll dis) {    int i,y;    if(dis>MaxDis)MaxDis=dis,ID=x;    for(i=las[x]; i; i=nex[i]) {        y=en[i];        if(y==f)continue;        dfsd(y,x,dis+len[i]);    }}void FindD() {//找直径的端点    MaxDis=0;    dfsd(1,0,0);    St=ID;    MaxDis=0;    dfsd(ID,0,0);    En=ID;}ll S[MAXN],D[MAXN];void dfss(int x,int f,ll dis) {    int i,y;    if(D[x]<dis)D[x]=dis;    for(i=las[x]; i; i=nex[i]) {        y=en[i];        if(y==f)continue;        dfss(y,x,dis+len[i]);    }}void GetS(ll A,ll B,ll C) {    dfss(St,0,0);    dfss(En,0,0);    int i;    for(i=1; i<=N; i++)S[i]=(D[i]+A)%C*B%C;}int dep[MAXN],fa[MAXN][20];ll V[MAXN][20];void DFS(int x,int f) {    int i,y;    dep[x]=dep[f]+1;    fa[x][0]=f;    V[x][0]=S[f];    for(i=1; i<20; i++) {        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];        V[x][i]=max(V[x][i-1],V[fa[x][i-1]][i-1]);    }    for(i=las[x]; i; i=nex[i]) {        y=en[i];        if(y==f)continue;        DFS(y,x);    }}ll MaxV;int LCA(int x,int y) {    int i,t,d;    MaxV=max(S[x],S[y]);    if(dep[x]<dep[y])t=x,x=y,y=t;    d=dep[x]-dep[y];    for(i=0; i<20; i++)if((d>>i)&1)MaxV=max(MaxV,V[x][i]),x=fa[x][i];    if(x==y)return x;    for(i=19; i>=0; i--)        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) {            MaxV=max(MaxV,V[x][i]);            MaxV=max(MaxV,V[y][i]);            x=fa[x][i];            y=fa[y][i];        }    MaxV=max(MaxV,V[x][0]);    MaxV=max(MaxV,V[y][0]);    return fa[x][0];}int Up(int x,int lca,ll k) {//情况一    int i;    for(i=19; i>=0; i--)if(V[x][i]<k)x=fa[x][i];    if(dep[fa[x][0]]<dep[lca])return -1;    return fa[x][0];}int Down(int y,int lca,ll k) {//情况二    int i,d,L,R,mid,t;    ll tmpv;    d=dep[y]-dep[lca];    L=0;    R=d;    while(L<=R) {//二分从终点向上跳的距离        mid=L+R>>1;        t=y;        for(i=0; i<20; i++)if((mid>>i)&1)t=fa[t][i];        tmpv=S[t];        for(i=0; i<20; i++)if(((d-mid)>>i)&1)tmpv=max(tmpv,V[t][i]),t=fa[t][i];        if(tmpv>=k)L=mid+1;        else R=mid-1;    }    for(i=0; i<20; i++)if((R>>i)&1)y=fa[y][i];    return y;}int main() {    int i,x,y,lca,ans;    ll A,B,C,z;    scanf("%d%d%lld%lld%lld",&N,&M,&A,&B,&C);    for(i=1; i<N; i++) {        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);        Add(x,y,z);        Add(y,x,z);    }    FindD();    GetS(A,B,C);    DFS(1,0);    while(M--) {        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);        if(S[x]>=z) {            printf("%d\n",x);            continue;        }        lca=LCA(x,y);        if(MaxV<z) {            puts("-1");            continue;        }        ans=Up(x,lca,z);        if(ans!=-1)printf("%d\n",ans);        else ans=Down(y,lca,z),printf("%d\n",ans);    }}