洛谷P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY（BZOJ1010）

斜率优化DP

洛谷题目传送门
BZOJ题目传送门

状态及转移很好想：
f[i]表示以i为结尾的玩具所需费用的最小值。

转移：

f[i]=min(f[j]+(∑ik=jc[k]+i−j−1−L)2)

然而n≤50000,于是可以考虑进行斜率优化

假设对i而言x比y好且x<y，则
f[x]+(∑ik=xc[k]+i−x−1−L)2<f[y]+(∑ik=y+i−y−1−L)2

记一个c的前缀和C[i],则∑ik=jc[k]=C[i]−C[j]

记X[i]=C[i]−i−1−L,Y[i]=C[i]+i，则
f[x]+(X[i]−Y[x])2<f[y]+(X[i]−Y[y])2

左边=f[x]+X[i]2−2X[i]Y[x]+Y[x]2
右边=f[y]+X[i]2−2X[i]Y[y]+Y[y]2

联立后化简，得
f[x]+Y[x]2−f[y]−Y[y]22(Y[x]−Y[y])>X[i]

然后用单调队列维护一下左边这个东西就行啦

代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define MAXN 50000 using namespace std;typedef long long LL;LL f[MAXN+5],c[MAXN+5],X[MAXN+5],Y[MAXN+5];int n,l,que[MAXN+5];#define sqr(x) ((x)*(x))LL K(int x,int y){    return (f[x]+sqr(Y[x])-f[y]-sqr(Y[y]))/(2*(Y[x]-Y[y]));//左边的式子}int main(){    scanf("%d%d",&n,&l);    for (int i=1;i<=n;i++){        scanf("%lld",&c[i]),c[i]+=c[i-1];        X[i]=c[i]+i-1-l,Y[i]=c[i]+i;        f[i]=1e18;    }    int r=0,w=0;     for (int i=1;i<=n;i++){//单调队列维护        while (r<w&&K(que[r],que[r+1])<X[i]) r++;        f[i]=f[que[r]]+sqr(X[i]-Y[que[r]]);        while (r<w&&K(que[w-1],que[w])>=K(que[w],i)) w--;        que[++w]=i;    }    return printf("%lld\n",f[n]),0;}